Vaimennettua tärinää

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 16 muokkausta .

Vaimentuneet värähtelyt ovat värähtelyjä, joiden energia pienenee ajan myötä. Loputtomasti jatkuva lajikehitys on mahdotonta luonnossa. Minkä tahansa oskillaattorin vapaat värähtelyt ennemmin tai myöhemmin häviävät ja pysähtyvät. Siksi käytännössä yleensä käsitellään vaimennettuja värähtelyjä. Niille on ominaista se, että värähtelyamplitudi A on laskeva funktio. Tyypillisesti vaimennus tapahtuu väliaineen vastusvoimien vaikutuksesta, useimmiten ilmaistuna lineaarisena riippuvuutena värähtelyn nopeudesta tai sen neliöstä. $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ ${\displaystyle \scriptstyle u'_{t))$

Akustiikassa: vaimennus - signaalin tason alentaminen täydelliseen kuulumattomuuteen.

Esimerkki on jousiheilurin vaimentuneet värähtelyt

Olkoon systeemi, joka koostuu jousesta (noudattaa Hooken lakia ), jonka toinen pää on jäykästi kiinnitetty ja toisessa kappale, jonka massa on m . Värähtelyjä tehdään väliaineessa, jossa vastusvoima on verrannollinen nopeuteen kertoimella c (katso viskoosinen kitka ).

Tällöin Newtonin toinen laki tarkasteltavalle järjestelmälle voidaan kirjoittaa muodossa

m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},

missä on vastusvoima ja kimmovoima. Se käy ilmi $F_{c}=-cv$ $F_{y}=-kx$

ma+cv+kx=0,

tai differentiaalimuodossa

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

missä on Hooken lain kimmokerroin , on vastuskerroin, joka määrittää painon nopeuden ja tuloksena olevan vastusvoiman välisen suhteen. $k$ $c$

Yksinkertaisuuden vuoksi otetaan käyttöön seuraava merkintä:

\omega _{0}={\sqrt {k \over m)),\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.

Arvoa kutsutaan järjestelmän ominaistaajuudeksi, vaimennuskertoimeksi. Tällä merkinnällä differentiaaliyhtälö saa muodon $\omega_0$ $\zeta$

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Vaimennettujen värähtelyjen yhtälö. Mahdollisia ratkaisuja

Edellisen osan viimeinen yhtälö on suuren (jonka yleisesti ottaen ei tarvitse olla koordinaatti) vaimennettujen värähtelyjen yleinen yhtälö. Jos abstrahoidaan siitä, kuinka parametrit on saatu ja tietyssä esimerkissä, tällainen yhtälö soveltuu kuvaamaan laajaa vaimennettujen järjestelmien luokkaa. $x$ $\omega_0$ $\zeta$

Kun substituutio on tehty , saamme ominaisyhtälön ${\displaystyle x=e^{\lambda t))$

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,

jonka juuret lasketaan kaavalla

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1))).

Vaimennuskertoimen arvosta riippuen ratkaisu jaetaan kolmeen mahdolliseen vaihtoehtoon.

jaksoittaisuus

Jos , niin on olemassa kaksi todellista juuria, ja differentiaaliyhtälön ratkaisu saa muodon: $\zeta >1$

{\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t))

Tässä tapauksessa värähtelyt vaimentuvat eksponentiaalisesti alusta alkaen.

Aperiodisuuden raja

Jos , kaksi todellista juurta ovat samat ja yhtälön ratkaisu on: $\zeta=1$ ${\displaystyle \lambda =-\omega _{0))$

{\displaystyle x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t))

Tässä tapauksessa voi tapahtua tilapäinen nousu, mutta sitten eksponentiaalinen heikkeneminen.

Heikko vaimennus

Jos , niin ominaisuusyhtälön ratkaisu on kaksi monimutkaista konjugaattijuurta $\zeta <1$

{\displaystyle \lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))

Sitten alkuperäisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on

x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin( \omega _{\mathrm {d} }t)),

missä on vaimennettujen värähtelyjen luonnollinen taajuus. ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))$

Vakiot ja kussakin tapauksessa määritetään alkuehdoista: $c_1$ $c_2$ $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

Katso myös

Kirjallisuus

Lit .: Saveliev I. V., Yleisen fysiikan kurssi: Mekaniikka, 2001.