Logaritmisen värähtelyn vähennys

Värähtelyjen logaritminen dekrementti ( vaimennuslasku _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ värähtelevä arvo x samaan suuntaan:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Värähtelyjen logaritminen vähennys on yhtä suuri kuin vaimennuskerroin β kerrottuna värähtelyjaksolla T :

\lambda =\beta T.

Tätä parametria käytetään pääsääntöisesti lineaarisissa värähtelyjärjestelmissä, koska epälineaarisissa järjestelmissä värähtelyjakso riippuu yleisesti ottaen amplitudista ja amplitudin pienenemisen laki poikkeaa eksponentiaalisesta. Lineaarisissa järjestelmissä vaihteleva määrä muuttuu ajan myötä as

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

missä A = x (0) on alkuamplitudi, t on aika, ω = 2π/ T on syklinen värähtelytaajuus.

Merkitsemällä X n = x ( nT ) saadaan tästä , että X k ja X k +1 suhde on yhtä suuri kuin

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

Logaritminen dekrementti on yhtä suuri kuin tämän eksponentin eksponentti:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Jos värähtelyjärjestelmän energia on verrannollinen x :ään , niin sen laatutekijä (suhteellinen energiahäviö vaiheen nousun aikana 1 radiaanilla) on yhtä suuri kuin

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

ja logaritminen dekrementti ilmaistaan laatutekijänä as

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

Siksi järjestelmissä, joissa on korkea laatukerroin (eli heikosti vaimennettu) , voimme rajoittua kahteen ensimmäiseen termiin laajentamalla Maclaurin-sarjaa λ : ssa ja korvata ne näissä kaavoissa , mikä johtaa $\lambda \ll 1,$ $e^{-\lambda }$ $e^{-\lambda }$ $1-\lambda ,$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \noin {\frac {2\pi }{Q)).

Linkit

Vaimennuksen vähennys // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. - S. 578. - 707 s. - 100 000 kappaletta.