Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on matriisi , joka on idempotentti matriisin kertolaskussa , eli matriisi , joka täyttää ehdon . $P$ $P\cdot P=P$

Esimerkkejä

Esimerkkejä idempotenteista matriiseista:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

{\begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}}

Reaalimatriisit järjestyksessä 2

Jos matriisi on idempotentti, niin ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$a=a^{2}+bc,$
$b=ab+bd,$ mistä siis joko tai $b(1-ad)=0$ $b=0$ $d=1-a,$
$c=ca+cd,$ mistä siis joko tai $c(1-ad)=0$ $c = 0$ $d=1-a,$
$d=bc+d^{2}.$

Siten välttämätön ehto kertaluvun 2 matriisin idempotenssille on sen diagonaalisuus tai sen jäljen yhtäläisyys yksikköön. Diagonaalisille idempotenteille matriiseille , ja se voi olla vain nolla tai yksi. $a$ $d$

Kun matriisi on idempotentti kohdassa , eli jos se on toisen asteen yhtälön ratkaisu $b=c$ ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ $a^{2}+b^{2}=a$ $a$

a^{2}-a+b^{2}=0

tai

\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4)),

joka on ympyrän yhtälö, jonka säde on 1/2 ja jonka keskipiste on (1/2, 0).

Tasa -arvo ei kuitenkaan ole välttämätön ehto: mikä tahansa muodon matriisi $b=c$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}

sillä tulee olemaan idempotentti.

a^{2}+bc=a

Ominaisuudet

Jos matriisi on idempotentti, niin matriisi on myös idempotentti, koska $A$ $IA$

(IA)(IA)=IA-A+A^{2}=IA-A+A=IA.

Matemaattisen induktion menetelmää käyttämällä on helppo osoittaa, että jos matriisi on idempotentti, niin mille tahansa luonnolliselle luvulle , . $A$ $n$ $A^{n}=A$

Jos matriisi on idempotentti, niin matriisi on involutiivinen , ja päinvastoin, jos matriisi on involutiivinen, niin matriisi on idempotentti [1] . $P$ $I = 2P-E$ $minä$ $P={\frac {1}{2}}(I+E)$

Käännettävyys

Ainoa ei- degeneroitunut idempotenttimatriisi on identiteettimatriisi . Todellakin, olkoon idempotentti matriisi olemassa . Sitten . $A$ $A^{{-1}}$ $A=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$

Ominaisarvot

Mikä tahansa idempotentti matriisi on aina diagonalisoitavissa ja sen ominaisarvot ovat nolla ja yksi [2] .

Seuraava

Idempotentin matriisin jälki on yhtä suuri kuin sen arvo . Tämän avulla voit laskea jäljen matriisista, jonka elementtejä ei ole erikseen määritelty, mikä on hyödyllistä esimerkiksi tilastoissa määritettäessä otosvarianssin poikkeamaastetta teoreettisesta varianssista .

Sovellukset

Lineaarinen regressio

Kun lineaarista regressiotehtävää ratkaistaan pienimmän neliösumman menetelmällä , on löydettävä neliöpoikkeamien summan minimoiva estimointivektori , joka kirjoitetaan matriisimuotoon $\beeta$ $e_{i}$

e^{\mathrm {T} }e=(yX\beta )^{\mathrm {T} }(yX\beta ),

missä on riippuvan muuttujan havaintojen vektori, on matriisi, jonka sarakkeet edustavat riippumattomien muuttujien havaintoja . Ratkaisu on vektori $y$ $X$

{\hat {\beta }}=\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }y,

ja vastaava poikkeamavektori on [3]

{\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T } }y=\left[IX\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }\right]y=Oma.

Tässä ja ovat idempotentit ja symmetriset matriisit, mikä yksinkertaistaa neliöpoikkeamien summan laskemista: $M$ $X\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }$

{\hat {e}}^{\mathrm {T} }{\hat {e}}=(Oma)^{\mathrm {T} }(Oma)=y^{\mathrm {T} } M^{\mathrm {T} }My=y^{\mathrm {T} }MMy=y^{\mathrm {T} }My.

Idempotenssia käytetään myös muissa laskelmissa, kuten pisteytysvektorin varianssin määrittämisessä . $M$ ${\hat {\beta ))$

Antaa olla matriisi saatu poistamalla joitakin sarakkeita, ja anna . On helppo varmistaa, että ja , ja ovat idempotentteja ja lisäksi . Tämä johtuu siitä, että tai toisin sanoen sarakkeiden regression poikkeamat ovat nolla, koska se voidaan ihanteellisesti interpoloida osajoukoksi (suoralla korvauksella voidaan myös helposti osoittaa, että ). Tästä seuraa, että matriisi on symmetrinen ja idempotentti ja että , eli ortogonaalinen . Näillä tuloksilla on keskeinen rooli esimerkiksi F-testin johtamisessa . $X_{1}$ $X$ $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ $M$ $M_{1}$ $MM_{1}=M$ $MX_{1}=0$ $X_{1}$ $X$ $X_{1}$ $X$ $MX=0$ ${\näyttötyyli (M_{1}-M)}$ ${\näyttötyyli (M_{1}-M)M=0}$ ${\näyttötyyli (M_{1}-M)}$ $M$

Projektiooperaattori

Idempotentti lineaarinen operaattori on projektiooperaattori kuvaan ydintä pitkin . Operaattori suorittaa ortogonaalisen projektion silloin ja vain, jos se on idempotentti ja symmetrinen. $P$ $R(P)$ $N(P)$ $P$

Katso myös

Nilpotentti matriisi

Muistiinpanot

↑ Lineaarisen algebran perusteet, 1975 , s. 29.
↑ Horn ja Johnson, 1990 , s. 148.
↑ Greene, 2003 , s. 808–809.

Kirjallisuus

Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - M .: Nauka, 1975. - 400 s.
Horn, R.A. , Johnson, C.R. Matriisianalyysi . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0521386322 .
Greene, W. H. EconometricAnalysis . – 5. painos. - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , 2003. - ISBN 0130661899 .