Schwartzin invariantti

Analyyttisen funktion Schwartzin invariantti , Schwartzin derivaatta tai Schwarzian (joskus käytetään merkintää ) on muodon differentiaalioperaattori ${\näyttötyyli (Sf)(z)}$ ${\displaystyle \{f,\;z\))$ $f(z)$

(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f' '(z)}{f'(z)}}\oikea)^{2}.

Ominaisuudet

Lineaarisen murto-osan funktion Schwartzin invariantti on yhtä suuri kuin nolla. Tällä helposti todennetulla tosiasialla on suuri perustavanlaatuinen merkitys. Itse asiassa, jos toinen derivaatta määrittää differentioituvan funktion läheisyyden mittaan lineaariseen funktioon, niin Schwartzin invariantti suorittaa saman roolin lineaarisen murto-osan funktiolle.
Jos on analyyttinen funktio ja on lineaarinen murto-osakuvaus, niin relaatio pätee, eli lineaarinen murto-osakuvaus ei muuta Schwartzin invarianttia. Toisaalta Schwartzin derivaatta f o g lasketaan kaavalla, $f$ $g$ $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$

(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.

Siis ilmaisu[ tyhjentää ]

{\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\otimes 2))

invariantti lineaaristen murtolukumuunnosten alla.

Yleisemmin mielivaltaisille, riittävän monta kertaa differentioituville funktioille f ja g

S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).

Esittelemme kahden monimutkaisen muuttujan funktion

F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{zw))\right)

. Harkitse ilmaisua

{\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w))={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w ) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (zw)^{2}}

. Schwartzin johdannainen ilmaistaan kaavalla

(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.

Schwartzin derivaatalla on yksinkertainen kaava f :n ja z :n permutointiin

(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)

. Lausekkeella on seuraava merkitys: pidämme sitä koordinaattina, mutta funktiona. Sitten lasketaan Schwarzian . Siksi oletetaan , että käänteisfunktion lauseella on todellakin paikallinen koordinaatti a (tätä havaintoa käyttämällä viimeinen ominaisuus todistetaan suoralla laskennalla).

{\näyttötyyli (Sz)(f)}

f

z(f)

z(f)

f'\neq 0

f

z'(f)=1/f'(z)

Schwartzin invariantin yhtälö

Tarkastellaan tavallista differentiaaliyhtälöä muodon analyyttisissä funktioissa . Sitten sen kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua ja tyydyttää relaatio . ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$ $f_1$ $f_{2}$ $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$