Duhamelin integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Duhamel -integraali on erityinen integraali, jota käytetään laskemaan lineaaristen järjestelmien vaste syöttötoimintoon, joka muuttuu mielivaltaisesti ajassa. Tämän integraalin soveltuvuus perustuu lineaaristen järjestelmien superpositioperiaatteeseen , jossa sen vaste useiden samanaikaisten ja ajallisesti siirtyneiden vaikutusten summaan on yhtä suuri kuin signaalien kunkin ehdon vasteiden summa. .

Sitä käytetään lineaaristen mekaanisten järjestelmien, lineaaristen sähköpiirien jne. vasteiden laskemiseen.

Nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Marie Constant Duhamelin mukaan, joka ehdotti sitä mekaanisten järjestelmien vasteen laskemiseen.

Idea menetelmän soveltamisesta on seuraava. Tulosignaali esitetään summana (yleensä äärettömänä) joistakin standardisignaaleista, joiden järjestelmän vaste , jota kutsutaan transienttifunktioksi , tunnetaan. $h(t)$

Tämä menetelmä käyttää Heaviside-askeltoimintoa vakiotulona . Järjestelmän vaste ilmaistaan viivästyksen ja syötteen tulon ( funktioiden konvoluution ) integraalina, jota kutsutaan Duhamel-integraaliksi. $H(t)$ $h(t)$

Näin ollen, kun tiedetään järjestelmän vaste iskuon Heaviside-funktion muodossa, joka on kuvattu analyyttisessä muodossa tai saatu kokeellisesti, on mahdollista ennustaa (laskea) järjestelmän vaste mielivaltaiseen syötevaikutukseen.

Kaavat

Duhamel-integraalin käyttämiseksi on ensin laskettava tai mitattava järjestelmän siirtymäfunktio , joka on järjestelmän vaste vaiheittaiseen yksittäistulosignaaliin (kuva 2). $h(t)$

Siirtymäfunktio, jos sitä ei tunneta, löydetään millä tahansa käytettävissä olevalla menetelmällä (differentiaaliyhtälöjärjestelmän ratkaisu, operaattorimenetelmä mittauksella jne.). Lineaarisessa järjestelmässä siirtymäfunktio voi olla aperiodinen, värähtelevä, vaimennettu värähtelyprosessi tai useiden näiden prosessien yhdistelmä. Esimerkiksi kuvan 3 järjestelmälle. Kuviossa 1 siirtymäfunktio on jaksollinen prosessi, joka on kuvattu kuviossa 1. 2 [1] .

Jos järjestelmän tulosignaalia kuvaa funktio , jossa on riippumaton muuttuja, ilmaistaan järjestelmän vaste tähän signaaliin kaavalla, jossa on tulotoiminnon aikaderivaata: $U(\tau )$ $\tau$ $U'(\tau )$

Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Jos tulosignaali on yhdistetty ja funktiossa on epäjatkuvuuksia (aikapisteet , kuvassa 3), niin yllä oleva kaava pätee vain aikavälillä [0, ]: $U(t)$ $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{1}$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Vastaus jäljellä oleville intervalleille lasketaan superpositioperiaatteesta seuraavilla kaavoilla:

Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\vasen[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\oikea]\cdot h(t-t_{1})+\int _ {t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;

Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+

+\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{ 2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Viimeiset kaavat tarkoittavat seuraavaa:

Järjestelmän vastaus, joka syntyi prosessin kehityksen alkuvaiheessa, toimii edelleen kaikilla myöhemmillä aikaväleillä.
Funktion rikkominen ajanhetkellä arvolla vastaa tulosignaalin lisäämistä tai vähentämistä yksikköfunktiolla, jolla on sopiva kerroin ja jota on siirretty vastaavalla aikavälillä , mikä lisää lisäsignaalin järjestelmän vasteeseen . $t_{p}$ $E$ $E\cdot 1(t-t_{p})$ $E\cdot h(t-t_{p})$
Yllä esitettyihin vastesignaaleihin lisätään myöhemmillä aikaväleillä samoilla kaavoilla lasketut vasteet ottaen huomioon tulosignaalin siirtymä vastaavalla ajalla.

Esimerkki Duhamel-integraalin käyttämisestä ratkaisemaan

Lineaariselle piirille kuva 1 löydämme virran kondensaattorin läpi kuvassa 1 esitetyn kompleksisen tulosignaalin vaikutuksesta. 3. $I_{3}(t)$

Siirtymäfunktion laskenta

Siirtymäfunktion muodon löytämiseksi löydämme ratkaisuja ominaisyhtälöön

Z(p)=0,

missä on järjestelmän tuloimpedanssi kirjoitettuna operaattorimuodossa signaalilähteen puolelta, on monimutkainen muuttuja . $Z(p)$ $s$

Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={ \frac {R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};

R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;

p=-{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.

Ominaisuusyhtälöllä on yksi todellinen ratkaisu, joten siirtymäfunktio on eksponentti :

h(t)=h_{0}e^{-At}.

Olettaen, että sillä hetkellä, kun kondensaattori on purkautunut, saamme $t = 0$

h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1))};h(t)={\frac {1}{R_{1))}e^{-At }.

Järjestelmän vasteen laskeminen kompleksiseen signaaliin

Laskentavälit
Signaali	Intervalli	$U_{i}(t)$	$U'_{i}(t)$
$U_{1}(t)$	$0...t_{1}$	${\frac {2E}{t_{1))}t$	${\displaystyle {\frac {2E}{t_{1))))$
$U_{2}(t)$	$t_{1}...t_{2}$	$E$	$0$
${\näyttötyyli U_{3}(t)}$	$t_{2}...{\mathcal {1}}$	$0$	$0$

Signaalin esitys

Esitämme kompleksisen tulosignaalin paloittain funktiona kolmella taulukossa esitetyllä aikavälillä.

Ratkaisu

Ratkaisua etsitään kaavoista paloittain, kullekin aikavälille $A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

=0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}} \cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).

Y_{2}(t)=\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2 }(t_{1})-U_{1}(t_{1})\oikea]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2} '(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot { \frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{ R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}.

Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{ \frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\vasen[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2} )\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{ 2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.

Linkit

Bessonov L. A. Sähkötekniikan teoreettiset perusteet: Sähköpiirit. Proc. yliopistojen sähkö-, energia- ja instrumenttivalmistusalan opiskelijoille. - 7. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M .: Korkeampi. koulu, 1978. - 528 s.
Matkhanov P. N. Sähköpiirien analyysin perusteet. Lineaariset ketjut.: Proc. sähkötekniikkaa varten radiotekniikka asiantuntija. yliopistot. 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M .: Korkeampi. koulu, 1990. - 400 s.
Ni Zhenhua . Värähtelymekaniikka. Xi'an Jiaotong University Press, Xi'an, 1990 (kiinaksi).
RW Clough, J. Penzien . Rakenteiden dynamiikka. Mc Graw Hill Inc. , New York, 1975.
Anil K Chopra . Rakenteiden dynamiikka - Teoria ja sovellukset maanjäristystekniikkaan. Pearson Education Asia Limited ja Tsinghua University Press , Peking, 2001.
Leonard Meirovich . Tärinäanalyysin elementit. Mc Graw Hill Inc. , Singapore, 1986.
Duhamelin kaava "Dispersive Wikissä".
Transienttiprosessin laskenta käyttäen Duhamel-integraalia .
Duhamelin integraali. Tilamuuttujamenetelmä .
Transientti- ja impulssiominaisuudet. Duhamelin integraali .
Duhamelin integraali .

Muistiinpanot

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Sähkötekniikan teoreettiset perusteet: 2 nidettä Oppikirja yliopistoille. Osa I. - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - L .: Energoizdat. Leningrad. osasto, 1981. - 536 s., ill.

Katso myös

Laplace-muunnos