Injektio (matematiikka)

Injektio ( injektiokuvaus ) matematiikassa on joukon kartoitus joukoksi ( ), jossa joukon eri elementit käännetään joukon eri elementeiksi , eli jos kaksi kuvaa osuvat yhteen kartoituksen aikana, niin esikuvat osuvat yhteen . : . $f$ $X$ $Y$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

Injektiota kutsutaan myös upotukseksi tai yksi-yhteen-kartoitukseksi (toisin kuin bijektiota , joka on yksi-yhteen ). Toisin kuin surjektio , jonka sanotaan yhdistävän joukon toiseen , samanlainen lause injektiosta on muotoiltu kartoitukseksi . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$ $Y$

Injektio voidaan määritellä myös kartoitukseksi, jolle on olemassa vasen käänteis , eli injektoivasti, jos on olemassa sellainen, että koostumus . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $g\kaksoispiste Y\-X$ $g\circ f=\operaattorinimi{id}_X$

Injektion käsite (yhdessä surjektion ja bijektion kanssa) otettiin käyttöön Bourbakin teoksissa, ja se tuli laajalle levinneeksi melkein kaikilla matematiikan aloilla.

Esimerkkejä

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( luonnollinen logaritmi ) - injektiivinen ja surjektiivinen (tässä - positiivisten lukujen joukko ). $\mathbb {R} _{>0}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — injektiivisesti (tässä — ei-negatiivisten lukujen joukko ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — ei ole injektiivinen, koska . $f(-2)=f(2)=4$

Sovellus

Yksi sovelletuista esimerkeistä injektio-käsitteen soveltamisesta on yksi-yhteen-suhteen järjestäminen entiteettien välillä relaatiotietomallissa .
Ihanteellinen hash-funktio on injektiivinen.

Yleistykset

Injektion käsitteen yleistys kategoriateoriassa on monomorfismin käsite . Monissa luokissa, joskaan ei kaikissa, nämä käsitteet ovat vastaavia.

Kirjallisuus

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Joukkoteorian alkua // Matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian luentoja . (linkki ei saatavilla)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matemaattinen logiikka: Oppikirja. - Kolmas, stereotypia. toim. - Pietari. : Lan, 2004. - 336 s.