Aleksandrov-Cech kohomologia

Alexandrov-Cech kohomologia on topologisen avaruuden avoimien päällysteiden ominaisuuksiin perustuva kohemologiateoria . Tällainen kohemologia osoittautuu käteväksi patologisten tilojen tutkimuksessa.

Rakenteen ideana on, että jos tilan kansi koostuu riittävän pienistä ryhmistä, niin kannen hermon kohomologia on hyvä likiarvo itse tilan kohemologiasta.

Nimetty Aleksandrovin ja Cechin mukaan . Yleensä merkitty . ${\check {H}}^{*}$

Rakentaminen

Antaa olla topologinen avaruus ja olla avoin kattaa . Merkitään peittävällä hermolla . $X$ ${\mathcal {V))$ $X$ $N_{\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V))$

Oletetaan, että kansi on kirjoitettu kanteen , eli mikä tahansa joukko kohteesta sisältyy johonkin joukosta alkaen . Valitaan jokaiseen joukkoon liittyvä kartoitus joukosta, joka sisältää sen joukosta . Tämä kartoitus indusoi hermokartoituksen . Kohomologiarenkaiden indusoitu homomorfismi ei riipu valinnasta . (Koska työskentelemme yksinkertaisten kompleksien kanssa, ei ole väliä minkä kohemologiateorioista valitsemme.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $f$

Kohomologiarenkaat, joissa on homomorfismeja, muodostavat käänteisen järjestelmän. Tämä mahdollistaa siirtymisen käänteiseen rajaan $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Tuloksena olevaa rengasta kutsutaan avaruuden Cech-kohomologiaksi kertoimilla . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $X$ $G$

Suhde muihin kohomologian teorioihin

Patologisten tilojen osalta Cech-kohomologia voi poiketa yksittäiskohomologiasta.
- Jos esimerkiksi X on puolalainen ympyrä , niin , while ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Jos X on homotopia, joka vastaa CW-kompleksia , niin Cech-kohomologia on luonnollisesti isomorfinen singulaarikohomologian kanssa . ${\check {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Jos X on tasainen monisto , niin Cech-kohomologia on luonnollisesti isomorfinen de Rham-kohomologian kanssa . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Linkit

Alexandrov P. S., "Ann. of Math., 1928, v. 30, s. 101-87;
Sech E., "Fundam. matematiikka.", 1932, t. 19, s. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Differentiaalimuodot algebrallisessa topologiassa (epämääräinen) . - New York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allen Algebrallinen topologia (epämääräinen) . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wells, RaymondMonimutkaisten jakoputkien differentiaalianalyysi . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . Luku 2 Liite A