Rakentava todiste

Konstruktiivinen todistus on todistus , jossa matemaattisen objektin olemassaolo todistetaan suoralla konstruktiolla – toisin kuin ei-konstruktiivinen todistus (tunnetaan myös puhtaana olemassaololauseena ), joka todistaa objektin olemassaolon, jolla on tietyt ominaisuudet ilman, että se todistaa. konkreettinen esimerkki.

Rakentava matematiikka hylkää kaiken paitsi rakentavan todisteen. Tämä johtaa hyväksyttävien todistusmenetelmien rajoitukseen (etenkään poissuljetun keskikohdan lakia ei käytetä) sekä termien erilaiseen ymmärtämiseen. Esimerkiksi termillä "tai" on voimakkaampi merkitys rakentavassa matematiikassa kuin klassisessa matematiikassa.

Joskus käytetään vastaavaa termiä "tehokas todistus" [1] .

Esimerkkejä

Alkulukujen ääretön

Harkitse ensin lausetta, jonka mukaan alkulukuja on ääretön määrä . Eukleideen todiste on rakentava.

Tämän todistuksen yleinen yksinkertaistaminen, joka suoritetaan ristiriidassa sen olettaman perusteella, että alkulukuja on vain äärellinen määrä, ei kuitenkaan ole konstruktiivinen.

Ei-rakentava todiste

Oletetaan, että M on suurin alkuluku. Siis M! + 1 ei ole jaollinen millään käytettävissä olevilla alkuluvuilla, ja siten uusi alkuluku.

Rakentava todiste

Otetaan jokin alkuluku, esimerkiksi a 1 = 2 . Rakennamme sekvenssin a 2 = 2! + 1 , a 3 = a 2 ! + 1 jne. Kaikki nämä luvut ovat alkulukuja.

Irrationaalisen irrationaalinen aste

Mieti nyt lausetta

On irrationaalisia lukuja ja niitä, jotka ovat rationaalisia . $a$ $b$ $a^{b}$

Tämä lause voidaan todistaa konstruktiivisesti ja ei-konstruktiivisesti.

Ei-rakentava todiste

Seuraavaa Dov Jardenin todistusta vuodelta 1953 on käytetty laajalti esimerkkinä ei-rakentavasta todistuksesta ainakin vuodesta 1970 [2] .

Muista, että se on järjetöntä . Huomaa, että se on rationaalista tai irrationaalista. Jos rationaalinen, niin lause on tosi, ja . Jos irrationaalinen, niin lause on tosi, kanssa ja koska ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}$ $b={\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $b={\sqrt {2}}$

({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

Tämä todiste ei ole rakentava, koska se perustuu väitteeseen, että mikä tahansa luku on rationaalinen tai irrationaalinen. Tämä on esimerkki poissuljetun keskikohdan lain soveltamisesta , joka ei ole pätevä rakentavassa todistuksessa.

Huomaa, että ei-konstruktiivinen todistus ei anna esimerkkiä ja ; se antaa vain muutaman mahdollisuuden (tässä tapauksessa kaksi) ja osoittaa, että yksi niistä on haluttu esimerkki, mutta ei kerro, mikä. $a$ $b$

Itse asiassa irrationaalinen Gelfond-Schneiderin lauseen mukaan , mutta tällä tosiasialla ei ole mitään tekemistä yllä olevan ei-konstruktiivisen todisteen pätevyyden kanssa. ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$

Rakentava todiste

Päästää

a={\sqrt {2)),\quad b=\log _{2}9,\quad {\text{then))\quad a^{b}=3.

Molemmat luvut ovat irrationaalisia; on 2:n neliöjuuri ja jos , niin , mikä on mahdotonta, koska ensimmäinen numero on pariton ja toinen parillinen. $a$ $b={\tfrac {m}{n))$ ${\displaystyle 3^{2\cdot n}=2^{m))$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Käytäntö on tieteen totuuden kriteeri. - M . : Sosioekonomisen kirjallisuuden kustantamo, 1960. - S. 151.
↑ Dov Jarden. Yksinkertainen todiste siitä, että irrationaalisen luvun potenssi irrationaaliseen eksponenttiin voi olla rationaalinen // Scripta Mathematica. - 1953. - Ei. 19 . - s. 229 .