Yhteysrakenne

Kosketinrakenne on rakenne parittoman ulottuvuuden tasaisessa monistossa , joka koostuu tasaisesta tangenttihypertasojen kentästä, joka täyttää alla formuloidun rappeutumattomuuden ehdon. Tällainen rakenne on aina olemassa jakotukin kosketinelementtien jakoputkessa. Kosketinrakenne liittyy läheisesti symplektiseen rakenteeseen ja on sen analogi parittomille jakoputkille. $M^{{2n+1}}$

Määritelmä

Jakotukin kosketinrakenne määritellään määrittämällä 1-muoto siten, että $\lambda$

\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0

$\lambda$ kutsutaan yhteydenottolomakkeeksi. Kosketinrakenne on olemassa vain suuntautuvassa jakoputkessa ja määrittää sille ainutlaatuisen vektorikentän $Y$ $M^{{2n+1}}$

\lambda(Y)=1

d\lambda(Y,X)=0

mille tahansa vektorikentälle . $X$

Ominaisuudet

Kosketinsarjan mitta on aina pariton.
Millä tahansa faasiavaruudessa annetun Hamiltonin tason alijoukolla syntyy luonnollinen kontaktirakenne .

Jokainen symplektinen 2n-ulotteinen jakoputkisto liittyy kanonisesti (2n+1)-ulotteiseen kosketinsarjaan, jota kutsutaan sen kontaktiksi .
- Sitä vastoin mille tahansa (2n+1)-ulotteiselle kosketinsarjalle on olemassa sen symplektointi , joka on (2n+2)-ulotteinen monisto.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Lähes kontaktirakenne

Antaa olla pariton-ulotteinen sileä monisto . $M^{{2n+1}}$ $\dimM=2n+1$

Melkein kontaktirakenne monistossa on kolminkertainen tensorikenttiä tässä monistossa, jossa on differentiaalinen 1-muoto, jota kutsutaan rakenteen kontaktimuodoksi, on vektorikenttä, jota kutsutaan ominaispiirteeksi, on endomorfismi , jota kutsutaan rakenteelliseksi endomorfismiksi . Jossa $M$ $(\eta ,\xi ,\Phi )$ $\eta$ $\xi$ $\Phi$ $TM$

$\eta (\xi )=1$
$\eta \circ \Phi =0$
$\Phi (\xi )=0$
$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$

Jos lisäksi Riemannilainen rakenne on kiinnitetty , niin että $M$ $g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$

nelinkertaista kutsutaan lähes kontaktimetriksi (tai lyhyemmäksi AC-) rakenteeksi. Jakotukkia, jolle on annettu (melkein) kosketin [metrinen] rakenne, kutsutaan vastaavasti (melkein) kosketin [metrinen] jakotukkiksi. $(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$

Kirjallisuus

Arnold VI Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplektinen geometria.