Möbius-kokoonpano

Möbius-konfiguraatio tai Möbius- tetraedra on konfiguraatio euklidisessa avaruudessa tai projektitiivisessa avaruudessa, joka koostuu kahdesta toisiinsa kirjoitetusta tetraedrista  - yhden tetraedrin kukin kärki sijaitsee tasolla, joka kulkee toisen tetraedrin pinnan läpi ja päinvastoin. Näin ollen tuloksena olevassa kahdeksan pisteen ja kahdeksan tason järjestelmässä jokainen piste sijaitsee neljällä tasolla (kolme tasoa määrittelevät tetraedrin kärjen ja neljäs taso on taso, joka kulkee toisen tetraedrin pinnan läpi, jolla kärki sijaitsee) , ja jokainen taso sisältää neljä pistettä (kolme tetraedrin pinnan kärkeä ja toisen tetraedrin kärki, jotka sijaitsevat samalla tasolla).

Möbius-lause

Konfiguraatio on nimetty August Ferdinand Möbiuksen mukaan, joka osoitti vuonna 1828, että jos kahdella tetraedrilla on ominaisuus, että seitsemän niiden kärkeä on toisen tetraedrin pintojen vastaavilla tasoilla, niin kahdeksas kärki on myös vastaavan tetraedrin tasolla. kasvot muodostaen Möbius-konfiguraation. Tämä onnettomuuslause pätee myös yleisemmässä kolmiulotteisessa projektioavaruudessa, jos ja vain, jos Pappin lause ( Reidemeister , Schoenhard ) pätee tässä avaruudessa ja pätee kolmiulotteisessa avaruudessa, joka on rakennettu keholle , jos ja vain jos kommutatiivinen laki pätee , joten ryhmän on oltava kenttä (Al-Dhahir). Projektiivisen kaksinaisuuden vuoksi Möbiuksen tulos vastaa sanomista, että jos kahden kasvojen läpi kulkevan tetraedrin kahdeksasta tasosta seitsemän sisältää toisen tetraedrin vastaavat kärjet, niin kahdeksannen pinnan taso sisältää myös toisen kärjen.

Rakentaminen

Coxeter ( 1950 ) kuvaili konfiguraation yksinkertaista rakentamista. Aloitetaan mielivaltaisesta pisteestä p euklidisessa avaruudessa. Olkoot A , B , C ja D neljä p :n  kautta kulkevaa tasoa , joista kolme ei leikkaa samalla suoralla. Sijoitamme kuusi pistettä q , r , s , t , u ja v kuudelle näiden tasojen parittaisesta leikkauspisteestä muodostuneelle suoralle siten, että samassa tasossa ei ole neljää pistettä. Jokaiselle tasolle A , B , C ja D neljä seitsemästä pisteestä p , q , r , s , t , u ja v ovat tällä tasolla ja kolme sen ulkopuolella. Rakennamme tasot A' , B' , C' ja D' tasojen A , B , C ja D ulkopuolella olevien pisteiden kolmiosien kautta . Sitten Möbius-lauseen kaksoismuodon mukaan nämä neljä uutta tasoa leikkaavat yhdessä pisteessä w . Kahdeksan pistettä p , q , r , s , t , u , v ja w ja kahdeksan tasoa A , B , C , D , A' , B' , C' ja D' muodostavat Möbius-konfiguraation.

Samankaltaiset rakenteet

Gilbert ja Cohn-Vossen ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) väittävät (ilman viittausta), että on viisi konfiguraatiota, joissa on kahdeksan pistettä ja kahdeksan tasoa, joissa on neljä pistettä jokaisessa tasossa ja neljä tasoa, jotka kulkevat kunkin pisteen läpi, mikä voidaan toteuttaa kolmessa dimensiaalinen euklidinen avaruus - sellaiset konfiguraatiot on merkitty . Tietoja näistä kokoonpanoista voidaan saada Steinitzin artikkelista ( Steinitz 1910 ). Artikkelissa, joka perustuu Muthin ( Muth 1892 ), Bauerin ( Bauer 1897 ) ja Martinetin ( Martinetti 1897 ) tuloksiin, itse asiassa todetaan, että on viisi konfiguraatiota, joiden ominaisuudet ovat enintään kahdella tasolla kaksi yhteistä pistettä ja kaksoisominaisuus, enintään kaksi pistettä kuuluu kahteen tasoon. (Tämä ehto tarkoittaa, että mitkään kolme pistettä eivät ole samalla viivalla ja kolme kaksitasoa eivät leikkaa yhdessä suorassa.) On kuitenkin kymmenen muuta konfiguraatiota, joissa tämä ehto ei täyty, ja kaikki viisitoista konfiguraatiota voidaan toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Mielenkiintoisia ovat konfiguraatiot, joihin osallistuu kaksi tetraedria, joista kukin on kirjoitettu ja rajattu toisiinsa, ja nämä ovat juuri ne konfiguraatiot, jotka täyttävät edellä kuvatun ominaisuuden. Siten tetraedrillä on viisi konfiguraatiota, ja ne vastaavat symmetrisen ryhmän viittä konjugasioluokkaa . Yhden tetraedrin S = ABCD neljän kärjen permutaatiot voidaan saada itselleen seuraavasti: tetraedrin S jokainen kärki P sijaitsee tasolla, joka sisältää kolme toisen tetraedrin T kärkeä. Tetraedrin T jäljelle jäävä piste on tasossa, jossa on kolme tetraedrin pistettä. tetraedri S ja tetraedrin S piste Q on tämän tason ulkopuolella. Saamme kuvauksen P → Q. Permutaatioiden viisi konjugaatioluokkaa  ovat e, (12)(34), (12), (123), (1234) ja näistä viidestä luokasta Möbius-konfiguraatio vastaa konjugasioluokkaa e. Se on nimetty Ke. Steinitz väittää, että jos kaksi Ke-tetraedria ovat ja , niin näiden tetraedrien kahdeksan tasoa annetaan indekseillä, joiden summa on pariton .

Steinitz väittää myös, että vain yksi Möbius-konfiguraatio vastaa geometrista lausetta. Glynn kuitenkin kiistää tämän tosiasian ( Glynn 2010 ) - hän osoitti tietokonehaun avulla, että niitä on täsmälleen kaksi , yksi vastaa Möbius-konfiguraatiota toiselle konfiguraatiolle (vastaa konjugaatioluokkaa (12) (34) yllä ) lause pätee myös kaikille kolmiulotteisille projektioavaruuksille kentän päällä , mutta ei yleisissä kappaleissa . Näiden kahden kokoonpanon välillä on muita yhtäläisyyksiä, mukaan lukien se, että ne ovat itsekaksoivia matroidin kaksinaisuuden merkityksessä . Abstraktisti sanottuna toisessa konfiguraatiossa on "pisteet" 0,...,7 ja "tasot" 0125+i, (i = 0,...,7), joissa kokonaisluvut otetaan modulo kahdeksan. Tämä konfiguraatio, kuten Möbius-konfiguraatio, voidaan esittää kahtena tetraedrina, jotka ovat keskenään kirjoitettuja ja rajattuja - kokonaislukuina tetraedrit voivat olla 0347 ja 1256. Nämä kaksi konfiguraatiota eivät kuitenkaan ole isomorfisia, koska Möbius-konfiguraatiossa on neljä paria tasot, jotka eivät sisällä yhteistä pistekonfiguraatiota, kun taas toisessa konfiguraatiossa ei ole sellaisia ​​tasoja.

Möbius-konfiguraation Levi-graafissa on 16 kärkeä, yksi kullekin pisteelle ja tasolle, ja reunat vastaavat pisteiden ja tasojen esiintymistä (pari on taso ja sen päällä oleva kärki). Graafi on isometrinen hyperkuutiograafiin , jossa on 16 kärkeä Q 4 . Läheisessä Möbius–Cantor-konfiguraatiossa , joka muodostuu kahdesta toisiinsa kirjoitetusta nelikulmuksesta, on Möbius–Cantor-graafi , Q 4 :n osagraafi , Levy-graafina.

Muistiinpanot

Kirjallisuus