Bringa Root

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Algebrassa Bring-juuri eli ultraradikaali on analyyttinen funktio , joka määrittää polynomin ainoan todellisen juuren . Toisin sanoen, se on totta kaikille $Rintaliivit)$ $x^{5}+x+a$ $a$

Br(a)^{5}+Br(a)+a=0.

Kompleksisen tason leikkaus kulkee todellista puoliakselia pitkin . $x\leqslant -1$

Bring - juuren esitteli ruotsalainen matemaatikko Samuel

George Gerrard osoitti, että kaikki 5. asteen yhtälöt voidaan ratkaista Bring - radikaaleja ja juuria.

Bring-Gerard normaalimuoto

Jos

x^{5}+a_{1}x^{4}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{2}+a_{4}x+a_{5}=0

sitten jos

y=x^{4}+b_{1}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{3}x+b_{4},

saamme asteen 5 polynomin osoitteesta tekemällä Tschirnhaus-muunnoksen , esimerkiksi käyttämällä resultanttia eliminoimaan . Voimme sitten valita tietyt kerroinarvot saadaksemme muodon polynomin $y$ $x$ $b_{i}$ $y$

y^{5}+py+q

Tätä epätäydellistä muotoa, jonka Bring löysi ja Gerard löysi uudelleen, kutsutaan Bring-Gerardin normaalimuodoksi . Menetelmä "otsalla" yritettäessä tuoda Bring - Gerardin normaalimuotoon ei toimi; tämä on tehtävä askel askeleelta soveltaen muutamia Tschirnhaus-muunnoksia, jotka nykyaikaiset analyyttiset laskentajärjestelmät tekevät melko helposti.

Alussa, korvaamalla sanan , päästään eroon jäsenestä . Sitten soveltamalla Tschirnhausin ideaa poissulkemiseen ja termiin , otamme käyttöön muuttujan ja löydämme sellaisen ja niin, että tuloksena kertoimet for ja tulevat yhtä suureksi kuin 0. Tarkemmin sanottuna substituutiot $x-a_{1}/5$ $x$ $x^{4}$ $x^{3}$ $y=x^{2}+px+q$ $s$ $q$ $x^{3}$ $x^{4}$

q={\frac {2c}{5}}

p={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {12c^{3}-40ec+45d^{2}}}-15d}{10c}}

sulkea kolmannen ja neljännen vallan jäsenet samanaikaisesti pois

x^{5}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f

Seuraava vaihe on vaihdon tekeminen

y=x^{4}+b_{1}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{3}x+b_{4}

Muodossa

x^{5}+dx^{2}+ex+f

ja suljemme pois myös toisen asteen termin, jonka prosessissa ei tarvitse ratkaista asteyhtälöitä, jotka ovat korkeampia kuin 3. Tässä tapauksessa ja lausekkeet sisältävät neliöjuuret ja lausekkeessa for on kolmannen asteen juuri . $b_{1},b_{2}$ $b_{4}$ $b_{3}$

Yleisnäkymä on suhteellisen helppo laskea käyttämällä tietokonejärjestelmiä, kuten Maple tai Mathematica , mutta se on liian hankala, joten on parempi kuvata menetelmä, jota voidaan sitten soveltaa tietyssä tapauksessa. Joka tapauksessa voit muodostaa kertoimille kolmen yhtälön järjestelmän ja ratkaista sen. Yksi tällä tavalla saaduista ratkaisuista sisältää polynomien juuret, jotka eivät ole korkeampia kuin kolmatta astetta; Harkittuaan resultanttia lasketuilla kertoimilla, vähennämme yhtälön Bring-Gerard-muotoon. Alkuperäisen yhtälön juuret ilmaistaan tuloksena olevan yhtälön juurilla. $b_{i}$

Pidetään algebrallisena funktiona , yhtälön ratkaisut

x^{5}+ux+v=0

riippuvat kahdesta parametrista, ja muuttujaa muuttamalla voidaan kuitenkin muuttaa yhtälöä siten, että tuntematon on vain yhden parametrin funktio. Joten jos laitat $u$ $v$

z={x \over (-u/5)^{{1/4}}}

tulla muotoon

x^{5}-5x-4t=0

joka sisältää algebrallisena funktiona yhden kompleksisen yleisesti ottaen parametrin , jossa . $x$ $t$ $t=-(v/4)(-u/5)^{-5/4}$

Bringin juuret

Kompleksimuuttujan t funktioina yhtälön x juuret

x^{5}-5x-4t=0

niillä on haarapisteitä, joissa diskriminantti 800 000( t 4 - 1) katoaa, eli pisteissä 1, −1 sekä i ja -i . Monodromia minkä tahansa haarapisteen ympärillä vaihtaa kaksi niistä ja jättää yhden paikalleen. Kun t :n reaaliarvot ovat suurempia tai yhtä suuria kuin −1, suurin reaalijuuri on t :n funktio, joka kasvaa monotonisesti arvosta 1; Kutsutaan tätä funktiota Bring-juureksi , BR( t ). Valitsemalla haaran, joka on leikattu todellista akselia pitkin arvoon −1, voimme laajentaa Bring-juuren koko kompleksitasolle asettamalla arvot haaraa pitkin siten, että saamme analyyttisen jatkon ylempää puolitasoa pitkin. $-\infty$

Tarkemmin sanottuna anna , ja määritellä sekvenssi a i rekursiivisesti $a_{0}=3,a_{1}={1 \over 100},a_{2}=-{27 \over 400\,000},a_{3}={549 \over 800\,000\, 000}$

a_{{n+4}}=-{{\frac {185\,193}{5\,278\,000}}}\,{{\frac {2\,n+5}{n+4} }}a_{{n+3}}

-{\frac {9\,747}{52\,780\,000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{\left (n+4\oikea)\vasen(n+3\oikea)}}a_{n+2}

-{{\frac {57}{52\,780\,000}}}\,{{\frac {\left(2\,n+3\right)\left(10\,{n}^{{ 2}}+30\,n+17\oikea)}{\vasen(n+4\oikea)\vasen(n+3\oikea)\vasen(n+2\oikea)}}}a_{{n+ yksi }}

$-{{\frac {1}{6\,597\,500\,000}}}\,{{\frac {\left(5\,n+11\right)\left(5\,n+7 \oikea)\vasen(5\,n+3\oikea)\vasen(5\,n-1\oikea)}{\vasen(n+4\oikea)\vasen(n+3\oikea)\vasen( n+2\oikea)\vasen(n+1\oikea)}}}a_{n}.$

t :n kompleksisille arvoille , jotka | t -57| <58, saamme

\operaattorin nimi {BR} (t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t-57)^{n},

jota voidaan jatkaa analyyttisesti, mikä on jo mainittu.

Juuret x 5 - 5 x - 4 t = 0 voidaan nyt ilmaista Bring-juurilla seuraavasti:

r_{n}=i^{{-n}}\operaattorin nimi {BR}(i^{n}t)

n : lle 0 - 3 ja

r_{4}=-r_{0}-r_{1}-r_{2}-r_{3}

viidennelle juurelle.

Viidennen asteen yleisen yhtälön ratkaisu

Voimme nyt ilmaista polynomin juuret

$x^{5}+px+q=0$

mitä tulee Bring-radikaaleihin as

$x={\sqrt[{4}]{p}}\cdot BR\left({\frac {q}{\sqrt[{4}]{p^{5))))\right)= {\sqrt[{4}]{p}}\cdot H\left({\frac {{\sqrt[{4}]{p}}\cdot e^{\frac {2\pi ik}{5} }}{\sqrt[{5}]{q}}}\right),k=0..4$

juuren laskemiseksi riittää, että otetaan vain yksi arvo 4-x:stä ${\sqrt[{4}]{p))$

BR(x)=H\left({\frac {e^{\frac {2\pi ik}{5}}}{\sqrt[{5}]{x}}}\oikea),k =0...4

. Todiste

Korvaa yhtälö ja saa . Ota , niin saamme: . Sen juuret ovat määritelmän mukaan samat: $x^{5}+px+q=0$ $x=\alpha y$ $y^{5}+{\frac {p}{\alpha ^{4}}}y+{\frac {q}{\alpha ^{5}}}=0$ $\alpha ={\sqrt[{4}]{p))$ $y^{5}+y+{\frac {q}{p^{\frac {5}{4))))=0$

y=BR\left({\frac {q}{p^{\frac {5}{4))))\right)

, niin alkuperäisen yhtälön juuret ovat

x={\sqrt[{4}]{p}}\cdot BR\left({\frac {q}{p{\sqrt[{4}]{p))))\right)

Q.E.D.

Meillä on siis pelkistys Bring-Gerard-muotoon ratkaistavissa olevien polynomiyhtälöiden suhteen käyttämällä polynomimuunnoksia, joihin sisältyy lausekkeita, jotka ovat korkeintaan neljännen asteen juurissa. Tämä tarkoittaa, että muunnokset voidaan kääntää etsimällä polynomin juuret, jotka ilmaistaan radikaaleilla. Tämä menettely tuottaa tarpeettomia ratkaisuja, mutta jos ne leikataan pois numeerisilla menetelmillä, saadaan lauseke viidennen asteen yhtälön juurille neliöinä, kuutiojuurina ja Bring-radikaaleina, jotka ts. tulee olemaan algebrallinen ratkaisu yhden muuttujan algebrallisten funktioiden kannalta - yleisen viidennen asteen yhtälön algebrallinen ratkaisu.

Esimerkkejä

yksi) $x^{5}+2x+7=0$

$x={\sqrt[{4}]{2}}\cdot BR\left({\frac {7}{2{\sqrt[{4}]{2))))\right)={ \sqrt[{4}]{2}}\cdot H\left({\sqrt[{5}]{\frac {2{\sqrt[{4}]{2}}}{7}}}e^ {\frac {2\pi ik}{5}}\right),k=0...4$

2) $x^{5}-x+7=0$

$x=-{\sqrt[{4}]{-1}}BR\left({\frac {7}{\sqrt[{4}]{-1}}}\right)=-e^ {\frac {\pi i}{4}}\cdot BR\left({\frac {7}{e^{\frac {\pi i}{4}}}}\right)=-e^{\ frac {\pi i}{4}}\cdot H\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{20}}}{\sqrt[{5}]{7}}}e^ {\frac {2\pi ik}{5}}\right),k=0...4$ ,

toiminto on määritelty alla $H(x)$

3) $x^{5}-{\frac {5}{2}}x-26=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {2}}+{\sqrt { 2-{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}{ 2}}}+e^{\frac {4\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+ {\sqrt {2}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {2}}-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}{2}} }+$

$+e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2-{ \sqrt {2}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}{2}}} +e^{\frac {8\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {2}}-{\sqrt {2-{\sqrt {2 }}}}\oikea)^{2}\left(-{\sqrt {2}}-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}{2}}},k= 0,1,2,3,4$ .

neljä) $x^{5}-5x+12=0$

$x_{k}=-{\sqrt[{4}]{5}}\cdot e^{\frac {\pi i}{4}}\cdot BR\left({\frac {2}{ 5{\sqrt[{4}]{5}}\cdot e^{\frac {\pi i}{4))))\right)$

$x_{k}=5^{-{\frac {2}{5}}}e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\left( {\sqrt {5}}+{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\sqrt(-{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+{\ sqrt {5))))\right)))+e^{\frac {4\pi ik}{5}}5^{-{\frac {2}{5}}}{\sqrt[{5} ]{\left(-{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\left({\sqrt {5}}-{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\oikea)))+$

$+5^{-{\frac {2}{5}}}e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\left(-{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\sqrt({\sqrt {5}}+{\sqrt {5-{\sqrt {5} }}}\right)}}+e^{\frac {8\pi ik}{5}}5^{-{\frac {2}{5}}}{\sqrt[{5}]{\left ({\sqrt {5}}-{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)^{2}\sqrt(-{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+{ \sqrt {5}}}}\right)}},k=0,1,2,3,4$

5) $x^{5}+{\frac {15-20{\sqrt {\pi }}}{\pi +1}}x-{\frac {44+8{\sqrt {\pi }}} {\pi +1}}=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {\pi +1}}+{ \sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1))))\right)^{2}\left(-{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1 +{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2))))+e^{\frac {4\pi ik}{5)){\sqrt [{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\oikea)^{ 2}\left(+{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^ {2}}}}+$ $+e^{\frac {6\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt { \pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\right)^{2}\left(+{\sqrt {\pi +1))+{\sqrt {\pi +1-{\ sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2))))++e^{\frac {8\pi ik}{5)){\sqrt[{ 5}]{\frac {\left(+{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1-{\sqrt {\pi +1}}}\right)^{2} \left(-{\sqrt {\pi +1}}-{\sqrt {\pi +1+{\sqrt {\pi +1))))\right)}{(\pi +1)^{2 }}}},k=0,1,2,3,4.$

6) $x^{5}+15x-44=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]({\sqrt {2}}-1}}+e^{\frac { 4\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]{3-2{\sqrt {2}}}}+e^{\frac {6\pi i}{5}}{\sqrt[ {5}]{3+2{\sqrt {2}}}}-e^{\frac {8\pi i}{5}}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+ 1}},k=0,1,2,3,4.$

Funktiokaavio

Luokittelua varten otamme käyttöön diskriminantin ${\displaystyle D=256p^{5}+3125q^{4))$

Sitten D:n merkistä riippuen kaaviotyyppi voidaan jakaa kolmeen tapaukseen:

$D>0$ . 1 todellinen juuri ja 4 monimutkaista juuria. Maksimi ja minimi (jos ne ovat) ovat samalla puolella OX-akselia
$D<0$ . 3 oikeaa juurta ja 2 monimutkaista juuria. Maksimi ja minimi ovat OX-akselin vastakkaisilla puolilla.
$D = 0$ . Maksimi ja minimi (jos ne ovat) ovat samalla puolella OX-akselia. Polynomilla on useita juuria. Ne löytyvät kaavalla: , missä on suurin yhteinen jakaja . $gcd(x^{5}+px+q,5x^{4}+p)$ $gcd(x,y)$

Jos , yhtälöllä on useita juuria. ${\frac {D}{256p^{4))}=0$

5. asteen yhtälöiden ratkaistavissa olevat luokat

yksi) $x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0$

$x_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {{\sqrt {b^{2}+4a^{5} }}-b}{2}}}-{\frac {a}{e^{\frac {2\pi ik}{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {{\sqrt {b ^{2}+4a^{5}}}-b}{2}}}}}$ .

2) Jos yhtälössä, $x^{5}+ax+b$ $a,b\in Q,\exists \varepsilon =\pm 1,\exists e\neq 0,\exists c>0$

$a={\frac {5e^{4}(3-4\epsilon c)}{c^{2}+1)),b={\frac {-4e^{5}(11\epsilon +2c)}{c^{2}+1}},$ sitten juuret ilmaistaan seuraavasti:

$x_{j}=e(\omega ^{j}u_{1}+\omega ^{2j}u_{2}+\omega ^{3j}u_{3}+\omega ^{4j}u_ {4}),j=0,1,2,3,4$ , missä , , $\omega =e^{\frac {2\pi i}{5))$ $D=c^{2}+1$

$u_{1}={\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {D))+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D))))\oikea )^{2}\left(-{\sqrt {D}}+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{2}={\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {D))+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D))))\ oikea)^{2}\left({\sqrt {D}}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{3}={\sqrt[{5}]{\frac {\left(-{\sqrt {D))-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D))))\ oikea)^{2}\left({\sqrt {D}}+{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

$u_{4}={\sqrt[{5}]{\frac {\left({\sqrt {D))-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D))))\oikea )^{2}\left(-{\sqrt {D}}-{\sqrt {D-\varepsilon {\sqrt {D}}}}\right)}{D^{2}}}}$

Muut ominaisuudet

Monia muita Bring roots -ominaisuuksia saatiin, ensimmäiset Charles Hermite muotoili modulaaristen elliptisten funktioiden perusteella vuonna 1858. Kirjoitamme tärkeimmät ominaisuudet:

0. $\operaattorinnimi {BR} (-a)=-\operaattorin nimi {BR} (a)$

$\operaattorinnimi {BR} (ia)=i\operaattorin nimi {BR} (a)$
$\operaattorin nimi {BR} (a^{5}+a)=-a$
$\lim _{n\to \infty }BR(n)={\sqrt[{5}]{n))$
$\operaattorinimi {BR} \left({\frac {m^{5}+mn^{4}}{n^{5}}}\right)=-{\frac {m}{n}}$ , seurauksena 2
$BR(x)'={\frac {1}{5BR(x)^{4}+1}}$
$\int {\frac {1}{5BR(x)^{4}+1}}dx=BR(x)+C$

Ratkaisevuus radikaaleissa

$x^{5}+px+q=0$

${\displaystyle D=256p^{5}+3125q^{4))$

jos , $p={\frac {3125\phi \chi ^{4}}{(\phi -1)^{4}(\phi ^{2}-6\phi +25))),q={ \frac {3125\phi \chi ^{5}}{(\phi -1)^{4}(\phi ^{2}-6\phi +25)}},\phi \in R,\chi \ in R$

niin yhtälö on ratkaistavissa standardiradikaaleilla .

Sarjan laajennus $x\rightarrow \infty$

Mennään sisään: , $Br(x)=H\left({\frac {1}{\sqrt[{5}]{x}}}\oikea)$ ${\displaystyle y={\frac {1}{\sqrt[{5}]{x))))$

Rivi näyttää tältä: $H(y)=-{\frac {1}{y}}+{\frac {y^{3}}{5}}+{\frac {y^{7}}{5^{2 ))}+{\frac {y^{11}}{5^{3}}}-{\frac {21y^{19}}{5^{6}}}-{\frac {78y^{23 }}{5^{7}}}-{\frac {187y^{27}}{5^{8}}}-{\frac {286y^{31}}{5^{9}}}+{ \frac {9367y^{39}}{5^{12}}}+{\frac {39767y^{43}}{5^{13}}}+{\frac {105672y^{47}}{5^ {neljätoista}}}...$

$BR(z)=H\left({\frac {1}{\sqrt[{5}]{z}}}\right)=L\left({\frac {1}{z^{\ frac {4}{5}}}}\right){\sqrt[{5}]{z}}$

Sitten:

klo $z\rightarrow \infty$

$L(z)={\frac {-1+\displaystyle {\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {j_{n}}{z ^{5n}}}}}{z}},j_{1}=1,j_{2}=1,j_{3}=5,j_{4}=35,...$ , missä

klo $z\rightarrow 0$

$L(z)=\sum _{n=0}^{\infty }-{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(-1/10,2n\right)\alpha \left(2/5,2n\right)\left(-16\right)^{n}{z}^{5n}}{\alpha \left(4/5,n\right)\alpha \left( 3/5,n\oikea)\alpha \vasen(2/5,n\oikea)n!))+1/5{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(4/5, 2n\oikea)\alpha \vasen(3/10,2n\oikea)\vasen(-16\oikea)^{n}{z}^{5n+1}}{\alpha \vasen(6/5,n \oikea)\alpha \vasen(4/5,n\oikea)\alpha \vasen(3/5,n\oikea)n!}}+$

$+1/25{{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(6/5,2n\right)\left(-16\right)^{n}{z}^{ 5n+2}}{\alpha \left(7/5,n\right)\alpha \left(6/5,n\right)\alpha \left(4/5,n\right)n!}}\ alfa \vasen({\frac {7}{10)),2n\oikea)+{{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left(8/5,2n\right)\left(- 16\oikea)^{n}{z}^{5n+3}}{125\alpha \left(8/5,n\right)\alpha \left(7/5,n\right)\alpha \left (6/5,n\oikea)n!}}\alpha \left({\frac {11}{10}},2n\oikea)))$

missä $\alpha (a,b)={\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)))$

Sarjan laajennus $x\nuoli oikealle 0$

$BR(a)=-\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k}a^{4k+1 }}{4k+1}}=a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-...$ tai

$\operaattorinimi {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5)),{\frac {2}{5)) ,{\frac {3}{5)),{\frac {4}{5));{\frac {1}{2)),{\frac {3}{4)),{\frac {5 }{4));-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right)$

Yksityiset arvot

$\operaattorin nimi {BR} (0)=0$

$\operatorname {BR} (-1)={\frac {\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69)))){6))+{\frac {2}{3 {\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69))))))-{\frac {1}{3}}$

$\operaattorin nimi {BR} (2)=-1$

Ratkaisu rajojen läpi

Kun yhtälö: , sen juuri voidaan esittää seuraavasti: $x^{5}-px-q=0$

$x={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...))))))}$ , tai $x=\lim _{n\to \infty }\overbrace {\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...)))) ^{n}$

Todiste

$x={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q+...))))))}$

1) Esitetään tämä tietue sekvenssinä , jossa: $x_{n}$

$x_{1}={\sqrt[{5}]{q))$

$x_{2}={\sqrt[{5}]{q+p{\sqrt[{5}]{q))))$

${\displaystyle x_{n+1}={\sqrt[{5}]{q+px_{n))))$

2) Tämä sarja on monotonisesti kasvava ja rajoitettu, mikä tarkoittaa, että sen raja on , ja , $n\rightarrow\infty$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n))$

joten saamme yhtälön: , sitten: $x={\sqrt[{5}]{q+px}}$

$x^{5}-px-q=0$

Q.E.D.

Ratkaisu theta-funktion kautta

$x^{5}-x+d=0$

1) , $k=\tan \left({\frac {1}{4}}\arcsin \left({\frac {16}{25{\sqrt {5}}d^{2}}}\oikea) \oikea)$ $K(x)=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^ {2}\varphi }}}$

$p_{n}=i{\frac {K(1-k^{2})}{K(k^{2})))+16n,n=0,1,2,3,4$ kaikille 5 juurelle

2) Sillä me määrittelemme: $j=0,1,2,3,4$

$S_{j}=\left(e^{\frac {\pi i}{4))\right)^{j}{\frac ({\sqrt {2))\eta (\tau _{ j})\eta ^{2}(4\tau _{j})}{\eta ^{3}(2\tau _{j))))),\tau _{j}={\frac { p_ {n}+2j}{10}}$

$\eta (x)=e^{\frac {\pi ix}{12}}\prod _{k=1}^{\infty }(1-e^{2\pi ikx})$ - Dedekindin eta-funktio

$S_{5}={\frac {{\sqrt {2}}\eta \left({\frac {5p_{n}}{2}}\right)\eta ^{2}(10p_{n })}{\eta ^{3}(5p_{n})}}.$

Sitten: , merkki valitaan vastaavasti. $x_{n}={\frac {\pm 1}{2\cdot 5^{\frac {3}{4))))\cdot {\frac {k^{\frac {2}{8 ))}{\sqrt {kk^{3}}}}\cdot (S_{0}+S_{5})(S_{1}+iS_{4})(iS_{2}+S_{3})$

Glasserin johtopäätös

M. L. Glasserin (katso linkki alla) mukaan voit löytää ratkaisun mihin tahansa polynomiyhtälöön muodon kolmesta termistä:

x^{N}-x+t

Erityisesti mielivaltainen kvintinen yhtälö voidaan pelkistää tähän muotoon käyttämällä yllä esitettyjä Tschirnhaus-muunnoksia. Ota , missä on yleinen muoto: $x=\zeta ^{{-1/(N-1)}}$

\zeta =e^{{2\pi i}}+t\phi (\zeta ),

\phi (\zeta )=\zeta ^{{N/(N-1)}}

Lagrangen kaava osoittaa, että mikä tahansa analyyttinen funktio f muunnetun yleisen yhtälön juuren läheisyydessä suhteessa ζ:ään voidaan ilmaista äärettömänä sarjana :

f(\zeta )=f(e^{{2\pi i)))+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)} } {\frac {d^{{n-1))}{da^{{n-1))))[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{{a= e ^{{2\pi i}}}}

Jos laitamme tämän kaavan, saamme juuren: $f(\zeta )=\zeta ^{{-1/(N-1)}}$

x_{1}=\exp(-2\pi i/(N-1))-{\frac {t}{N-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {(te^{{2\pi i/(N-1))))^{n)){\Gamma (n+2)}}{\frac {\Gamma ({\frac {Nn}{N -1))+1)}{\Gamma ({\frac {n}{N-1))+1)))

Seuraavat N-2 juuret löytyvät korvaamalla yksikön muut (N-1) juuret ja Vietan lauseen viimeinen juuri (esim. käyttämällä sitä tosiasiaa, että kolmiterminisen polynomin muodon kaikkien juurien summa yllä on 1). Gaussin kertolaskulauseen avulla yllä oleva ääretön sarja voidaan jakaa hypergeometristen funktioiden äärelliseksi summaksi : $\exp(-2\pi i/(N-1))$

\psi (q)=({\frac {\omega t}{N-1)))^{q}n^{{qN/(N-1))){\frac {\prod _{{k= 0}}^{{N-1}}\Gamma ({\frac {Nq/(N-1)+1+k}{N)))}{\Gamma ({\frac {q}{N-1 }}+1)\prod _{{k=0}}^{{N-2}}\Gamma ({\frac {q+k+2}{N-1}})))}

x_{1}=\omega ^{{-1}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {{\frac {N}{2\pi (N- 1)))))\sum _{{q=0}}^{{N-2}}\psi (q)_{{N+1}}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN/(N-1)+1}{N)),\ldots ,{\frac {qN/(N-1)+N}{N)),1;\\{\frac {q+2} {N-1)),\ldots ,{\frac {q+N}{N-1)),{\frac {q}{N-1))+1;\\({\frac {t\omega }{N-1}})^{{N-1}}N^{N})\end{bmatrix}}

missä . $\omega =\exp(2\pi i/(N-1))$

{\displaystyle {}_{ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2))))

{}_{{x_{{N}}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{{N-1} ))}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N)),{\frac {N+3}{2N )),\cdots ,{\frac {N-2}{N)),{\frac {N-1}{N)),{\frac {N+1}{N)),{\frac {N +2}{N)),\cdots ,{\frac {3N-3}{2N)),{\frac {3N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {N+1} {2N-4)),{\frac {N+3}{2N-4)),\cdots ,{\frac {N-4}{N-2)),{\frac {N-3}{N -2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2)),\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4)) ,{\frac {3}{2));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N-2\ oikea)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {{\frac {c}{b}}}}{{\rm {{i}}}}{}_{ {N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N)),{\frac {3}{2N)),\cdots ,{\frac {N -4}{2N)),{\frac {N-2}{2N)),{\frac {N+2}{2N)),{\frac {N+4}{2N)),\cdots , {\frac {2N-3}{2N)),{\frac {2N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {3}{2N-4)),{\frac {5} {2N-4)),\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2))} {4b^{N}\vasen(N-2\oikea)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}}}

{}_{{x_{{N-1}}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\oikea)^{{N- 1)))){}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N)),{\frac {N+3} {2N)),\cdots ,{\frac {N-2}{N)),{\frac {N-1}{N)),{\frac {N+1}{N)),{\frac {N+2}{N)),\cdots ,{\frac {3N-3}{2N)),{\frac {3N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {N+ 1 }{2N-4)),{\frac {N+3}{2N-4)),\cdots ,{\frac {N-4}{N-2)),{\frac {N-3} { N-2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2)),\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4) ),{\frac {3}{2));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2))}{4b^{N}\left(N-2) \right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt ({\frac {c}{b}}}}{{\rm {{i}}}}{} _ {{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N)),{\frac {3}{2N)),\cdots ,{\frac { N-4}{2N)),{\frac {N-2}{2N)),{\frac {N+2}{2N)),{\frac {N+4}{2N)),\ cdots ,{\frac {2N-3}{2N)),{\frac {2N-1}{2N));\\[8pt]{\frac {3}{2N-4)),{\frac { 5 }{2N-4)),\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2} } }{4b^{N}\left(N-2\right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}}}

{}_{{x_{n}=-e^{({\frac {2n\pi ({\rm {{i}}}}}{N-2}}}}{\sqrt[ {N-2 }]{{\frac {b}{a}}}}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left (N-2\oikea))),-{\frac {1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {1}{N)),-{\frac {1} { N\left(N-2\right)))+{\frac {2}{N)),\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{ \ frac {1}{N)),{\frac {N-5}{2N)),-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{\frac {N- 3) }{2N)),-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+{\frac {N+1}{2N)),-{\frac {1}{ N\ vasen(N-2\oikea)))+{\frac {N+3}{2N)),\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)))+ {\ frac {N-1}{N)),;\\[8pt]{\frac {1}{N-2)),{\frac {2}{N-2)),\cdots ,{\ frac { 2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N- 2\ oikea)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt[ {N-2}]{{\frac {b}{a}}}}\sum _{{q =1 }}^{{N-3}}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q -1}{N-2}}+1\oikea)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[ {N-2}]{{\frac {a ^{ 2}}{b^{2}}}}}\oikea)^{q}\cdot {\frac {e^{({\frac {2n\left(1-2q\right)}{N- 2} }\pi {{\rm {{i}}}}}}{q!}}{}_{{N-1}}F_{{N-2}}{\begi n{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)))),{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)))+{ \ frac {1}{N)),{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {2}{N)),\cdots ,{\frac {Nq -1}{N\left(N-2\right)))+{\frac {N-3}{2N)),{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right) )} }+{\frac {N+1}{2N)),\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right))))+{\frac {N-1 }{N ));\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2)),{\frac {q+2}{N-2)),\cdots ,{\frac {N- 4}{ N-2)),{\frac {N-3}{N-2)),{\frac {N-1}{N-2)),{\frac {N}{N-2) ),\ cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2)),{\frac {2q+2N-5}{2N-4));\\[8pt]-{\frac {a ^{2 }c^{{N-2}}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{{N-2}}}}\end{bmatrix}},n=1, 2,\ cdots ,N-2}}

Yhtälön juuret voidaan sitten esittää korkeintaan N-1 hypergeometrisen funktion summana. Käyttämällä tätä menetelmää supistetussa Bring-Gerrard-lomakkeessa määritämme seuraavat funktiot:

{\begin{matrix}F_{1}(t)&=&F_{2}(t)\\F_{2}(t)&=&\,_{4}F_{3}(1/5,&2 /5,&3/5,&4/5;&1/2,&3/4,&5/4;&3125t^{4}/256)\\F_{3}(t)&=&\,_{4}F_ {3}(9/20,&13/20,&17/20,&21/20;&3/4,&5/4,&3/2;&3125t^{4}/256)\\F_{4}(t)& =&\,_{4}F_{3}(7/10,&9/10,&11/10,&13/10;&5/4,&3/2,&7/4;&3125t^{4}/256)\ loppu{matriisi}}

jotka ovat yllä olevassa sarjassa olevia hypergeometrisiä funktioita. Viidennen asteen yhtälön juuret ovat sitten:

{\begin{matrix}x_{1}&=&-t^{4}F_{1}(t)\\x_{2}&=&-F_{1}(t)&+{\frac {1 }{4}}tF_{2}(t)&+{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+{\frac {5}{32}}t^ {3}F_{3}(t)\\x_{3}&=&-F_{1}(t)&+{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-{\ frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+{\frac {5}{32}}t^{3}F_{3}(t)\\x_{4} &=&-iF_{1}(t)&+{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-{\frac {5}{32}}se^{2}F_{3 }(t)&-{\frac {5}{32}}t^{3}F_{3}(t)\\x_{5}&=&iF_{1}(t)&+{\frac {1 }{4}}tF_{2}(t)&+{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-{\frac {5}{32}}t^ {3}F_{3}(t)\\\end{matriisi}}

Tämä on olennaisesti sama tulos kuin James Cocklen [ ja Robert Harleyn vuonna 1860 kehittämällä differentiaaliresoluutiomenetelmällä .

Differentiaaliliuottimen

f[\phi (a)]=0

Funktio φ voidaan määritellä seuraavasti:

{\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da ^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac { d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}

Sitten eroresoluutio on:

{\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{ 231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi } {da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0

Katso myös

Yhtälöteoria

Ulkoiset linkit

ML Glasser. Kovaksi tehty toisen asteen kaava: vähemmän radikaali lähestymistapa yhtälöiden ratkaisemiseen. Artikkeli on saatavilla osoitteessa arXiv.org täältä (linkki ei saatavilla)
A. V. Gruzdov, S. V. Berezin. Ehdoton ultraradikaali .