Monodromia

Matematiikassa monodromia [1] on ilmiö, joka koostuu jonkin kohteen muuntamisesta, kun se suljetaan ei-triviaalista suljettua polkua pitkin.

Historia

Monodromian löytö juontaa juurensa d'Alembertin ja Eulerin väliseen kiistaan siitä, mitä arvoja logaritmi saa negatiivisille luvuille. Logaritmia ei voida määritellä nollassa, joten tähän kysymykseen vastaamiseksi on mentävä kompleksialueelle . Logaritmi laajennetaan nollasta poikkeaviin kompleksilukuihin käyttämällä analyyttista jatkoa . Eulerin aikaan tätä tekniikkaa ei ollut vielä formalisoitu, ja häntä ohjasi hänen nimeään kantava kaava (joka tunnetaan kuitenkin edelleen Kotsulle ): . Jos reaaliluku kulkee segmentin läpi , piste kulkee yksikön ympyrän yläosan läpi kompleksisessa tasossa, ja varten , Meillä on . Toisaalta tässä tapauksessa imaginaariakselin segmentti kulkee kohdasta pisteeseen , joten on luonnollista olettaa, että . $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $x$ $0$ $\pi$ $z=\cos x+i\sin x$ $x=\pi$ $z=-1$ $\log z=ix$ $0$ $i\pi$ $\log(-1)=i\pi$

Jos emme kuitenkaan rajoita itseämme puoliympyrään, vaan annamme pisteen kulkea koko ympyrän läpi, niin vastaavan pisteen , joka on helppo nähdä, täytyy kulkea pisteestä paikkaan ja siten logaritmi kulkee janan läpi alkaen . _ Siksi Eulerin näkökulmasta on tarpeen antaa kompleksisen logaritmin ottaa sekä arvo että arvo - ja antaa sinun kiertää yksikköympyrä niin monta kertaa kuin haluat mihin tahansa suuntaan, sitten kaikki arvot kaikki mahdolliset kokonaisluvut . Tämän ongelman ratkaisemiseksi Eulerin oli myönnettävä, että kompleksinen logaritmi on " moniarvofunktio " - käsite , jonka Riemann määritteli tiukasti monta vuotta myöhemmin. $z$ $x$ $0$ $2\pi$ $0$ $2\pi i$ $\mathrm {Log} ~1$ $0$ $2\pi i$ $2\pi in$ $n$

"Logaritmin moniarvoisena funktiona" demystifikaatio: differentiaaliyhtälöiden monodromia

Nykyaikaisen matematiikan näkökulmasta tämän ongelman ratkaisu on seuraava. Cotes-Euler-kaava on vähän enemmän kuin tapa sanoa, että logaritmi täyttää differentiaaliyhtälön . Jos edustamme funktiota sen kuvaajana, niin geometrisesti tämä tarkoittaa sitä, että jossain pisteessä logaritmin kuvaaja koskettaa vektorin kattamaa suoraa , missä ovat koordinaattiakseleita pitkin suunnatut yksikkövektorit. Kun , Tällaisen vektorikentän integraalikäyrät leikkaavat jokaisen pystysuoran viivan kerran ja ovat siten funktioiden kaavioita, jotka ovat itse asiassa funktioita . Kun tiedät alkuehdon , voit palauttaa logaritmin. $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $y'(x)=1/x$ $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\partial _{x},~\partial _{y}$ $x,y\in \mathbb {R}$ $x>0$ $y(x)=\log x+C$ $y(1)=0$

Samaan aikaan, jos tarkastelemme vektorikenttää holomorfisena vektorikentänä (ei määritelty kohdassa ) , sen integraalikäyrät, vaikka ne ovatkin hyvin määriteltyjä holomorfisia käyriä kohdassa , eivät ole minkään funktion kuvaajia : integraalikäyrät tämä kenttä leikkaa muodon jokaisen suoran äärettömässä joukkopisteessä, jotka eroavat toisistaan vektorin siirrolla . $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\mathbb {C} ^{2}$ $x=0$ $\mathbb {C} ^{2}$ $y=y(x)$ $x=C$ $(0,2\pi in)$

Differentiaaliyhtälöiden teorian näkökulmasta tätä kuvaa on hyödyllistä pitää ei tasona, vaan triviaalina fibrointina , jossa on kerros Riemannin pallon päällä ja jossa on useita puhkaisuja (tässä tapauksessa pisteissä ja ). Topologisesti kahdella puhkaisulla varustettu Riemannin pallo on rengas , ja siksi sen perusryhmä on isomorfinen . Tämän ryhmän generaattori on yksikköympyrän homotoopialuokka; kun se on suljettu yksikköympyrän ympärille, differentiaaliyhtälön ratkaisu siirtyy . Tämä ilmaistaan muodollisesti seuraavasti: Differentiaaliyhtälön monodromia on syklisen ryhmän esitys, joka lähettää generaattorin siirtoon . Toiminta määritellään seuraavasti: piste havaitaan differentiaaliyhtälön rajaehdona sen rajoituksessa meidän silmukkaan, ratkaisu jatkuu analyyttisesti silmukkaa pitkin ja palattuaan aloituspisteeseen määrittää siihen jonkin uuden arvon. Kerrosmuunnosta, joka muuttaa alkuperäisen rajaehdon analyyttisen jatkon tulokseksi, kutsutaan monodromiamuunnokseksi . $\mathbb {C}$ $0$ $\infty$ $S^{1}\times (-1,+1)$ $\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $y'(x)=1/x$ $\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $(x,y)$

Erityisen kiinnostava on lineaaristen fuksialaisten yhtälöiden monodromia . Tässä tapauksessa vastaus ei ole yksi funktio, vaan useita, eli nipun osa kerroksen kanssa ei ole , vaan . Lisäksi, koska yhtälö on lineaarinen, ratkaisun analyyttinen jatkuminen suljetun silmukan ympärillä ei määritä mitään holomorfisia muunnoksia , vaan lineaarisia. Siten lineaarisen fuksialaisen yhtälön monodromia on kartoitus . Koska pallon perusryhmä, jossa on useita pisteitä , on vapaa , tällainen esitys voidaan määritellä yhdistämällä jokaiseen punktioon, mutta yksi kompleksinen matriisi (jolloin jäljellä olevan punktion ympärillä oleva monodromia on käänteisarvo tunnettujen monodromiamatriisien tulolle, oikeassa järjestyksessä). Kuuluisa Riemann-Hilbert-ongelma kysyy, onko niiden ympärille mahdollista rekonstruoida lineaarinen fuksialainen yhtälö mille tahansa pisteille ja monodromiamatriiseille niiden ympärillä. Plemelj ratkaisi sen positiivisesti vuonna 1908 , kunnes Iljashenko huomasi, että jotta tämä ratkaisu olisi totta, ainakin yhden monodromiamatriisin on oltava diagonalisoitavissa. Sen jälkeen vuonna 1989 Bolibrukh rakensi vastaesimerkin, mikä antoi negatiivisen ratkaisun Riemann-Hilbert-ongelman klassiseen versioon. [2] $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

Pintojen monodromia

Ehkä yksinkertaisin käsite monodromiasta syntyy topologiassa, nimittäin peitteiden teoriassa . Olkoon peite (jonka pohja on polkuyhteydessä, mutta kokonaistila on mahdollisesti irti) ja olla kaksi pistettä pohjassa. Yhdistämällä ne polulla nostamme tämän polun päällysteen kokonaistilaan. Tämä nosto riippuu pisteen käänteisen kuvan valinnasta , mutta peittävän homotoopialauseen mukaan ei mitään muuta. Erityisesti ("rajaehdon") valinta määrittää yksiselitteisesti . Laitetaan polut vastaamaan kartoitusta , joka vie pisteen vastaavaan pisteeseen ("Cauchy-kartoitus"). Tämä kartoitus ei riipu naulatun polun homotoopialuokasta, varsinkin jos polku oli silmukka, niin se antaa kerroksen permutaatiota riippuen vain tämän silmukan homotoopialuokasta. Liittäminen kerroksen permutaatiosilmukan homotoopialuokkaan antaa mappauksen , joka, kuten on helppo todentaa, on ryhmähomomorfismi. Tätä homomorfismia kutsutaan monodromiaesitykseksi ja sen kuvaa monodromiaryhmäksi . $p\colon Y\to X$ $x,x'\in X$ $\gamma$ ${\näyttötyyli y(x)\in p^{-1}(x)}$ $y(x)$ ${\näyttötyyli y(x')}$ $\gamma$ $p^{-1}(x)\to p^{-1}(x')$ $y(x)$ ${\näyttötyyli y(x')}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)=Y_{x))$ $\pi _{1}(X)\to {\mathfrak {S}}(Y_{x})$

Historiallisesti päällysteteoria on formalisoitu juuri Riemannin töissä, jotka liittyvät differentiaaliyhtälöiden monodromiaan, missä hän formalisoi moniarvoisen funktion käsitteen. Hänen kannet olivat puhkaistun Riemannin sfäärin kansia, joissa "moniarvoisista funktioista" tulisi tuttuja yksiarvoisia toimintoja ja moniarvoisten funktioiden eri arvot yhdessä vaiheessa olisivat yksinkertaisesti sen arvoja. kaikissa kannen kyseisen kohdan esikuvissa. Esimerkiksi kaksiarvoiselle funktiolle vastaava peitto on pisteistä lävistetyn Riemannin pallon kaksiarkkipeite ja kompleksisen logaritmin tapauksessa sen universaalipeite . Näissä tapauksissa monodromiaryhmät ovat ryhmät ja vastaavasti . Vastaavasti kahdella puhkaisulla varustetun pallon -arkkipeite vastaa -arvoista funktiota ja sillä on monodromiaryhmä , joten on järkevää puhua logaritmista "äärettömän asteen juurena". ${\sqrt {z))$ $0$ $\infty$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $m$ $m$ ${\sqrt[{m}]{z))$ $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$

Tarkastellaan ehdon antamaa moniarvoista funktiota , jossa on riittävän yleinen astepolynomi . Peite, jolla funktiosta tulee yksiarvoinen, on lehtiä, joten sen monodromiaryhmä on symmetrisen ryhmän aliryhmä ja riittävän yleisellä polynomilla se tyhjentää koko symmetrisen ryhmän. Yhtälön ratkaistavuus radikaaleilla (eli funktion esitettävyys aritmeettisten operaatioiden koostumuksena ja juuriasteita ottavana ) vastaa sitä tosiasiaa, että vastaava peitto saadaan monodromiaryhmiä sisältävien peitteiden koostumuksina, ts. , on ratkaistava ryhmä . Se tosiasia, että symmetriset ryhmät ovat ratkaistavissa kohdassa, vastaa yhtälön ratkaisevuutta neljänteen asti, ja ryhmän ratkaisemattomuus vastaa Abel-Ruffinin lausetta . Tämä lause sisältää vanhimman käsityksen monodromian topologisesta luonteesta. $y=y(x)$ $x=P(y)$ $P$ $n$ $y$ $n$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $P(t)=0$ $y(x)$ $mi$ $\mathbb {Z} /m_{i}\mathbb {Z}$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $n<5$ ${\mathfrak {S}}_{5}$

Tasaisten liitosten monodromia

Differentiaaligeometriassa monodromian käsite nousee esiin holonomiakäsitteen erikoistapauksena . Eli olkoon nippu, vektorinippu yksinkertaisuuden vuoksi ja olkoon yhteys siinä. Sitten jokaiseen palakohtaisesti sileään polkuun voidaan liittää rinnakkaiskäännösoperaatio yhteyden avulla. Erityisesti, jos tarkastelemme suljettuja paloittain sileitä silmukoita, joiden origo on pisteessä , tämä antaa kerrosmuunnoksen, eli ryhmän elementin . Koska paloittain-sileiden silmukoiden luokka on suljettu ketjutuksen aikana ja silmukan poikkisuunnan vaihtaminen antaa käänteisen endomorfismin, kaikkien tällaisten endomorfismien joukko muodostaa ryhmän. Tätä ryhmää kutsutaan holonomiaryhmäksi . $E\to X$ $\nabla$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $x$ $\mathrm {GL} (E_{x})$

Jos lisäksi yhteys oli tasainen, niin Frobenius-lauseesta , jota sovelletaan vaakasuuntaisen jakauman jakautumiseen kokonaisavaruudessa , seuraa, että holonomia silmukaa pitkin ei muutu pienillä muodonmuutoksillaan, eli se riippuu vain sen homotopy-luokassa. Siksi tasaisissa yhteyksissä on järkevämpää puhua monodromiasta holonomiasta. Topologisesti tämä vastaa seuraavaa: Frobenius-lauseesta seuraa, että mikä tahansa litteän nipun vektori voidaan laajentaa paikallisesti tasaiseksi osaksi (tällaisia osia kutsutaan myös vaakasuuntaisiksi, yhdensuuntaisiksi tai kovarianttivakioiksi). Jos tarkastellaan eri topologian omaavan nipun kokonaisavaruutta (merkitsimme sitä sellaisella topologialla ), jossa avoimien joukkojen perustana ovat paikallisten vaakaleikkausten ja avoimien osajoukkojen leikkauspisteet sisällä , niin projektiokartta itse asiassa olla päällyste, ja tällaisen päällysteen monodromia on yksinkertaisesti nipun monodromia litteällä liitännällä. $E$ $E$ $E$ $E'$ $E$ $E'\to X$

Alkuperäinen, eulerilainen monodromiakonsepti ensimmäisen kertaluvun lineaarisille differentiaaliyhtälöille, joilla on kompleksinen aika, voidaan saada tarkastelemalla triviaalia holomorfista nippua puhkaistun Riemannin pallon päällä, jossa on tätä differentiaaliyhtälöä vastaava yhteys. On kuitenkin huomioitava, että jos yhtälö oli toista tai korkeampaa kertaluokkaa, niin sen tulkinnan löytäminen jonkin geometrisen luonteisen tasaisen yhteyden perusteella on äärimmäisen ei-triviaali tehtävä: esim. monet teokset on omistettu hypergeometrisen yhtälön ja Gauss-Manin-yhteyden väliselle yhteydelle . [3] [4]

Bogomolov ja hänen oppilaansa ovat kehittäneet idean monodromian soveltamisesta ei-tasomaisiin yhteyksiin . Harkitse yksinkertaisuuden vuoksi Riemannin pintaa , jossa on merkitty piste , ja harkitse kaikkien mahdollisten äärellisten osajoukkojen luokkaa, jotka eivät sisällä , jossa morfismi on olemassa, ellei (jos ajattelet kohdetta Riemannin pintana , josta osajoukon pisteet puhkaistaan, silloin morfismi on yksinkertaisesti identtinen lävistetymmän pinnan upottaminen vähemmän lävistettyyn pintaan). Käytä nyt tähän kategoriaan ryhmät-luokan funktionaalia . Tuloksena olevan ryhmäkaavion rajaa merkitään . Tätä ryhmää voidaan pitää epävirallisesti pinnan perusryhmänä, joka on lävistetty kaikissa kohdissa paitsi . Pisteeseen perustuvalla paloittain sileällä silmukalla on tässä ryhmässä hyvin määritelty luokka, koska se on kaikkien mahdollisten tämän silmukan ulkopuolella lävistettyjen pintojen perusryhmissä. Jos on nippu, jossa on yhteys yli , niin kartta, joka muuttaa silmukan sitä pitkin olevan yhteyden holonomiaksi, on homomorfismi , joka on samanlainen kuin monodromiaesitys. Ryhmään voidaan ottaa käyttöön ei-triviaali topologia , nimittäin diskreettien topologioiden raja yllä kuvattua kaaviota pitkin. Tässä tapauksessa yhteys vastaa jatkuvaa esitystapaa, jos tämä yhteys oli tasainen useiden pisteiden ulkopuolella (esimerkiksi tällainen on Levi-Civita-yhteys monitahoisen pinnalle vuonna ). Hyvin tunnetussa Riemannin pintojen ja lukukenttien välisessä analogiassa tällainen ryhmä vastaa (mutta ei kirjaimellisesti) Galois-ryhmän profiniittista täydennystä . $X$ $x$ $S\subset X$ $x$ $S\to S'$ $S\supset S'$ $S$ $X$ $S$ $S\mapsto \pi _{1}(X\setminus S,x)$ $\Pi _{1}(X,x)$ $X$ $x$ $x$ $(E,\nabla )$ $X$ $\Pi _{1}(X,x)\to \mathrm {GL} (E_{x})$ $\Pi _{1}(X,x)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Pi _{1}(X,x)$

Muistiinpanot

↑ Neljännen tavun painotus on historiallisesti ominaista Moskovan koulukunnalle, kolmannen - Pietarin koululle.
↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-ongelma kompleksisella projektiiviviivalla" , Mat. muistiinpanot, 46:3 (1989), 118-120
↑ S. Bloch . [yksi]
↑ W. J. Hoffman . Picard-Fuchsin differentiaaliyhtälöiden aritmeettiset ominaisuudet