Holonomia

Holonomia on yksi yhteysinvarianteista nipussa sileän monistimen päällä , jossa yhdistyvät kaarevuuden ja monodromian ominaisuudet , ja se on tärkeä sekä geometriassa että geometrisoiduilla luonnontieteen alueilla, kuten suhteellisuusteoriassa ja merkkijonoteoriassa . Yleensä puhutaan vektorinipussa olevien yhteyksien holonomiasta , vaikka yhtä lailla on järkevää puhua pääkimpun yhteyden holonomiasta tai jopa Ehresmann-yhteyden holonomiasta paikallisesti triviaalissa topologisessa nipussa.

Muista, että vektorinipussa oleva yhteys on operaattori, joka määrittää kullekin polulle käännösmuunnoksen . Toisin kuin topologiassa usein kohdattava tilanne, rinnakkaiskäännösmuunnos muuttuu, jos itse polkua muutetaan, vaikka sen päät olisivat ennallaan (se ei riipu pienistä polun muutoksista vain hyvin erityisessä, vaikkakin erittäin tärkeässä tapauksessa litteät liitokset ). Holonomia on mitta siitä, kuinka rinnakkainen käännös voi riippua polun pienistä häiriöistä. Nimittäin yhdistelmäpolku, joka kuljetaan kohdasta toiseen ja sitten takaisin sen vaihtelua pitkin , voidaan nähdä suljettuna poluna pisteestä itseensä. Kaikkien tasomuunnosten joukko, jotka on saatu käännöksillä suljettuja polkuja pitkin, jotka alkavat ja päättyvät pisteeseen, muodostaa pisteessä ryhmän, jota kutsutaan holonomiaryhmäksi ja jota merkitään . Jos tarkastelemme vain rinnakkaisia käännöksiä niillä poluilla, jotka ovat supistettavissa johonkin pisteeseen, saamme sen normaalin alaryhmän , jota kutsutaan paikalliseksi ryhmäksi tai rajoitetuksi holonomiaksi , jota merkitään . Eri pisteissä olevat holonomiaryhmät voidaan tunnistaa yhdistämällä nämä pisteet polulla, mutta tämä tunnistaminen riippuu yleisesti ottaen polun valinnasta. Kaikki nämä ryhmät ovat kuitenkin isomorfisia, minkä ansiosta voimme puhua yksinkertaisesti holonomiaryhmästä ja paikallisesta holonomiaryhmästä riippumatta pisteen valinnasta. Pisteen holonomiaryhmällä on rakenteeltaan luonnollinen esitys avaruudessa, nimeltään holonomiaesitys . $E\to X$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle p_{\gamma }\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ ${\näyttötyyli \gamma (0)}$ ${\näyttötyyli \gamma (1)}$ $\gamma$ $\gamma$ ${\näyttötyyli \gamma (0)=x}$ ${\näyttötyyli E_{x))$ $x$ $x$ $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )$ $\operaattorinimi {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ $\operaattorinimi {Hol} (\nabla )$ $\operaattorinimi {Hol} ^{0}(\nabla )$ $x$ ${\näyttötyyli E_{x))$

Tasaiselle yhteydelle paikallinen holonomiaryhmä on määritelmän mukaan triviaali, ja holonomiaryhmä on tämän tasaisen yhteyden monodromiaryhmä . Yleisessä tapauksessa ei-tasaisen liitoksen monodromia määritellään holonomiaksi, osamääräryhmäksi . $\operaattorinimi {Hol} (\nabla )/\operaattorinimi {Hol} ^{0}(\nabla )$

Yksinkertaisin esimerkki: pallomaisen kolmion kulmien summa

Tarkastellaan kaksiulotteisen pallon tangenttivektorien tapausta. Liitettävyys ( Levi-Civita ) voidaan tässä tapauksessa määrittää alkeellisesti. Nimittäin mikä tahansa paloittain sileä polku voidaan mielivaltaisesti hyvin approksimoida katkoviivalla, jonka linkit ovat geodeettisia (eli suurien ympyröiden pieniä kaaria). Määritellään geodeettista rinnakkaissiirtoa sillä ehdolla, että tangenttivektori muuttuu vektoriksi , kun kulmat ja suunta tangenttitasossa säilyvät. ${\displaystyle p_{\gamma }\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2))$ ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2))$

Kuvassa on prosessi, jossa tangenttivektoria siirretään geodeettisesti pisteestä pisteeseen , pisteestä pisteeseen ja pisteestä takaisin pisteeseen . Huomaa, että sivua pitkin liikuttaessa siirretyn vektorin tämän puolen tangenttivektorin kanssa muodostama kulma ei muutu, ja kärjessä siihen lisätään tämän kärjen ulkokulman arvo . Siten kulma kumuloituu yhteensä , jossa tarkoittaa pallomaista vikaa (pallomaisen kolmion kulmien summan poikkeama kohdasta ), ja koska rajan tangenttivektori vierii myös , suljetun tangenttivektorin kumulatiivinen poikkeama arvosta sen alkuperäinen tangenttivektori on . Kuten hyvin tiedetään, pallomainen vika on verrannollinen kolmion pinta-alaan, joten holonomiaryhmä on tässä tapauksessa yksinkertaisesti ryhmä kiertoja kaikkien mahdollisten kulmien läpi. $A$ $N$ $N$ $B$ $B$ $A$ $\pi -\alpha _{i}$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\pi$ $2\pi$ $\delta$

Tämä vaikutus voidaan havaita tosielämässä esimerkiksi silloin, kun gyroskoopit poikkeavat asennostaan ohitettuaan polun, joka sisältää riittävän suuren alueen maan pinnasta. Muita enemmän tai vähemmän klassisia holonomiailmiön ilmenemismuotoja ovat Berry-vaihe ja Aharonov-Bohm-ilmiö .

Holonomia ja kaarevuus

Korkeamman ulottuvuuden tapauksessa polun varrella tapahtuvaa holonomian muutosta ei tietenkään voi kuvata yhdellä numerolla, koska -ulotteisen avaruuden ortogonaaliset kiertoliikkeet vaativat kertoimia yksilöllistä osoitusta varten. He muodostavat kuitenkin edelleen ryhmän. Jos kyseessä on Levi-Civita-liitäntä (tai metriyhteys yleensä) suuntautuvassa jakoputkessa, tämä on alaryhmä , yleensä koko se. Sitä kutsutaan Riemannin holonomiaryhmäksi . $n$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Jos polku on supistettu pisteeseen , niin holonomiamuunnos pyrkii identtiseen muunnokseen . Jos pyrimme äärettömän pieneen suunnikkaaseen, jonka sivut ovat , niin holonomiamuunnos pyrkii muunnokseen , joka on äärettömän lähellä identiteettiä. Mutta määritelmän mukaan, jos , missä on merkityksetön (tai muodollisesti ottaen yli nilpotentti rengas ), Sitten , Missä on ryhmän Lie algebra . Tässä tapauksessa tätä algebraa kutsutaan holonomiaalgebraksi ja sitä merkitään . Toisaalta "rinnakkainen sulkeminen äärettömän pienen suunnikkaan ympärille" -operaattori, joka näyttää kuinka pitkälle rinnakkaiset siirtooperaattorit eivät kommutoi kahta vektoria pitkin, on yksinkertaisesti kaarevuus . $\gamma$ $x$ $p_{\gamma }$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}$ $\gamma$ $u,v\in T_{x}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\in G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g))$ $\mathfrak{g}$ $G$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla )$ ${\displaystyle \Theta _{u,v))$

Lause ( Ambrose , Singer ): Holonomiaalgebra generoidaan kaarevuustensorin arvoilla kaikilla mahdollisilla tangenttivektoriparilla.

Holonomiaperiaate

Jos on olemassa vektorinippu , jossa on yhteys ja jossa on tietty tensori , joka on määritelty pisteessä , niin sitä voidaan yrittää laajentaa kaikkiin muihin jakosarjan pisteisiin rinnakkaissiirrolla käyttämällä yhteyttä osoitteesta . Tuloksena oleva tensorikenttä on automaattisesti yhdensuuntainen yhteyden suhteen . Kuitenkin, jotta tämä toiminto olisi oikea, sen on oltava riippumaton polun valinnasta; toisin sanoen, riippumatta siitä, miltä suljetulta polulta otamme itseemme, rinnakkaisen siirron sitä pitkin täytyy palata itseensä. Tämä tarkoittaa, että holonomiaryhmän tensoriesituksessa on invariantti vektori. $E\to X$ $\nabla$ ${\displaystyle \eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l))$ $x$ $\nabla$ $x$ $\nabla$ $x$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Holonomiaperiaate : liitettävyyden suhteen rinnakkaiset tensorikentät vastaavat yksitellen invariantteja holonomiaesityksen tensoritehossa $\nabla$ $\nabla$

Tarkastellaan esimerkiksi unitaaristen matriisien alaryhmää . Tällä ryhmällä on invariantti tensori in , nimittäin kertolaskuoperaattori in ( tämä on 90° kierto). Siksi, jos -ulotteisessa Riemannin monistossa on Riemannin holonomiaryhmä , se sallii 90°:n kiertokentän (eli tangenttikimppuendomorfismin ominaisuudella ), joka voidaan nähdä lähes monimutkaisena rakenteena . Lisäksi, koska Levi-Civita-yhteys on vääntövapaa , Newlander-Nirenberg- lauseesta seuraa, että tämä rakenne on integroitavissa , eli se hyväksyy paikalliset holomorfiset kartat . Vastaavasti ryhmäesityksessä on kiinteä vektori, vinosymmetrinen osa Hermitian pistetulosta . Siten -ulotteisessa Riemannin monistossa, jossa on holonomia , ei ole missään degeneroitunutta 2-muotoa, joka on yhdensuuntainen Levi-Civita-yhteyden suhteen (joka voidaan ilmaista edellä kuvatulla metriikalla ja operaattorilla vakiokaavalla Eremiittiset avaruudet . Liitoksen suhteen rinnakkaiset differentiaalimuodot ilman vääntöä ovat suljettuja, joten , ja tällainen monisto on symplektinen.Kähleriläisiä kutsutaan monisäikeiksi, joissa on kolme yhtenäistä rakennetta - Riemannilainen metriikka, symplektinen muoto ja monimutkainen rakenne . Lyhin tapa määritellä Kählerin monisto on sanoa, että se on Riemanni- ulotteinen monisto, Riemannilainen ryhmä, jonka holonomia sisältyy ryhmään . Kaikki geometriset rakenteet saadaan tästä holonomiaperiaatteella. $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\sqrt {-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$ $minä$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subset \mathrm {SO} (2n)$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $\omega$ $g$ $minä$ $\omega (x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ $\mathrm {U} (n)$

Holonomiaperiaatteella on toinen tärkeä sovellus. Oletetaan nimittäin, että Riemannilaisen holonomin esitys on pelkistävissä . Sitten voidaan laajentaa vastaavaa tangentiavaruuden jakoa kaikkiin muihin pisteisiin. Saamme kaksi alanippua , jotka ovat keskenään kohtisuorassa toisiinsa nähden. Lisäksi, koska nämä osaniput on suojattu vääntövapaalla liitoksella, ne päästävät sisään yhtenäisiä levyjä, eli paikallisesti jakoputkisto hajoaa kohtisuoraksi suoratuotteeksi. Kaksi toisiaan kohtisuorassa kaikkialla olevaa tiheää foliaatiota toruksella tekee selväksi, ettei tällaista hajoamista yleensä tapahdu maailmanlaajuisesti; kuitenkin seuraavaa $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\subset T$

Lause ( J. de Ram ). Yksinkertaisesti yhdistetyssä jakoputkessa, jossa on pelkistettävä Riemannin holonomiaesitys, rinnakkaiset foliaatiot määrittelevät hajoamisen kohtisuoraan karteesiseen tuloon.

Bergen pöytä

De Rhamin dekompositiolauseen mukaan mikä tahansa kompaktin yksinkertaisesti yhdistetyn moniston metriikka yhdistetään metriikasta Riemannin holonomian pelkistymättömään esitykseen, joten ne ovat kiinnostavia geometreille.

Homogeenisten tilojen invarianttimetriikka mahdollistaa monien erilaisten holonomiaryhmien järjestämisen. Tällaisten mittareiden kuvaus on ei-triviaali ongelma Lie-algebroiden teoriassa. Jos olemme kuitenkin kiinnostuneita geometrian kysymyksistä, jotka eivät ole pelkistettävissä algebraan, meille on tärkeää, että metriikassa, joka ei ole homogeeninen, meillä on $G/H$

Simonsin vaihtoehto . Lie-ryhmä ortogonaalisen esityksen kanssa voi syntyä Riemannin holonomiaryhmänä ja Riemannin holonomiaesitysnä metriikalle, joka ei ole paikallisesti symmetrinen , kunhan tämä ryhmä toimii transitiivisesti yksikköpituisilla vektoreilla.

Siten epäsymmetrisen metriikan Riemannin holonomiaryhmä vaikuttaa palloon transitiivisesti. Tällaiset ryhmät on täysin luokiteltu. Kaikkia niistä ei voida toteuttaa epäsymmetrisen metriikan holonomiaryhmänä: esimerkiksi D.V. Alekseevskiin osoittamalla holonomialla metriikalla on oltava kovarianttivakio kaarevuustensori, ja tämän ominaisuuden omaava metriikka on paikallisesti symmetrinen Cartan-Ambrose-Hicksin lause . Ryhmä ei voi syntyä ollenkaan holonomiaryhmänä. Loput ryhmät on koottu M. Bergerin ensin kuvaamaan taulukkoon : $\mathrm {Spin} (9)\subset \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subset \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\himmeä$	geometria	muistiinpanoja
${\mathrm {SO}}(n)$	$n$	yleinen Riemannin monisto
$\mathrm {U} (n)$	$2n$	Kähler jakotukki	Riemannilainen, symplektinen, monimutkainen
${\mathrm {SU}}(n)$	$2n$	Calabi-Yau jakoputki	ricci-flat , kähler
$\mathrm {Sp} (1)\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	kvaternion-Kählerin monisto	Einsteinilainen , mutta ei Kählerilainen
$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	hyperkähler-jakotukki	Ricci-flat, Kählerian (kolmelle erilaiselle monimutkaiselle rakenteelle)
${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$	7	${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ - jakotukki	ricci-tasainen
$\mathrm {Spin} (7)$	kahdeksan	Spin(7)-jakotukki	ricci-tasainen

Viimeisessä sarakkeessa luetellut tiedot johtuvat myös holonomiaperiaatteesta ja vastaavien holonomiaesitysten joidenkin tensoripotenssien invarianttien katoamisesta. Tästä taulukosta ei ole mahdollista sulkea pois kvaternion-Kähler-monistoja samassa hengessä, jossa Aleksejevski sulki pois -lajikkeet (jotka olivat Bergerin taulukon varhaisessa versiossa); hypoteettisesti ne ovat kuitenkin kaikki paikallisesti symmetrisiä. Kaikissa muissa tapauksissa on esimerkkejä ei-paikallisesti symmetrisistä mittareista. $\mathrm {Spin} (9)$

Suhde yhteyksien holonomian ja ei-holonomisilla yhteyksillä varustettujen järjestelmien välillä

Geometriassa sanaa "holonomia" käytti ensimmäisen kerran Eli Cartan vuonna 1926, kun hän luokitteli symmetriset tilat. Itse sana on kuitenkin paljon vanhempi, ja se on säilynyt alkuperäisessä merkityksessään tähän päivään asti termillä " ei-holonominen mekaniikka ". Poinsot esitteli sen kuvaamaan mekaanisia järjestelmiä, joissa suureiden derivaattojen yhtälöt voidaan pelkistää suureiden itsensä yhtälöiksi - tai mekaniikka geometriaksi pelkistäen tangenttitasojen jakaumia vaiheavaruudessa, joille voidaan määrittää funktioiden tasopinnat. havaittiin, että niillä on samat mitat. Nyt tällaisia jakaumia kutsutaan integroitaviksi (sekä juuret kokonaisluku että ὅλος tarkoittavat "kokonaisuutta"). Vastaavasti epäholonomiset järjestelmät ovat sellaisia, joissa sallittuja vektorikenttiä pitkin liikuttaessa voidaan lopulta liikkua suuntaan, joka ei täytä yhtälön määräen hetkellisille muutoksille. Yhteydet, joilla on nollasta poikkeava kaarevuus (ja siten holonomia), määräävät juuri sellaisen jakauman niiden nippujen kokonaistilassa, joissa ne on annettu: jakoputken suljettu polku nousee vaakasuoraan polkuun kokonaisavaruudessa alkaen pisteestä ja päättyy pisteeseen . Tämä on juuri muutos poikittaissuunnassa, kun holonomiaryhmä on ei-triviaali; jos se on triviaali (eli järjestelmä on holonominen), niin kaikkien mahdollisten polkujen nousu määräytyy integraalisen osamoniston yli kokonaisavaruudessa jokaiselle alkuarvolle; nämä alijoukot (tarkemmin sanottuna funktiot, joiden tasopinnat ne ovat) vastaavat mekaniikassa holonisten järjestelmien säilymislakeja. $\gamma$ $v\in E_{x}$ $p_{\gamma }(v)\in E_{x}$

Mielenkiintoista on, että aivan kuten historiallisesti termi "monodromia" viittasi tilanteeseen, jossa se, mitä nyt kutsumme monodromiaryhmäksi, katosi (ja etymologisesti olisi oikeampaa käyttää sanaa allodromia ), termi "holonomia" tarkoitti alun perin tilannetta, jossa holonomia on triviaalia. Tämä on kuitenkin yleinen epäoikeudenmukaisuus matematiikassa: esimerkiksi Euler-ominaisuus Eulerille oli aina yhtä suuri kuin kaksi, eikä se luonnehtinut mitään; topologisena invariantina sitä pitäisi oikeutetusti kutsua Lhuillier - ominaispiirteeksi .

Linkit

Vektoripaketit, luento 8: holonomiaryhmä , Misha Verbitsky , 18. marraskuuta 2013
Golwala, S. (2007), Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab , < http://www.astro.caltech.edu/~golwala/ph106ab/ph106ab_notes.pdf >