Geodeettinen

Geodeettinen (myös geodeettinen viiva ) - tietyn tyyppinen käyrä , yleistys käsitteestä " suora viiva " kaareville tiloille.

Geodeettisen linjan tarkka määritelmä riippuu tilan tyypistä. Esimerkiksi kaksiulotteisella pinnalla, joka on upotettu euklidiseen kolmiulotteiseen avaruuteen , geodeettiset viivat ovat viivoja, joiden riittävän pienet kaaret ovat lyhyimpiä polkuja niiden päiden välillä tällä pinnalla. Tasossa nämä ovat suoria viivoja, pyöreitä sylinteri - kierreviivoja , suoraviivaisia generaattoreita ja ympyröitä , suurten ympyröiden pallokaareilla .

Geodeettisia viivoja käytetään aktiivisesti relativistisessa fysiikassa . Joten yleisen suhteellisuusteorian testikappale liikkuu aika-avaruuden geodeettista linjaa pitkin . Pohjimmiltaan kaikkien Lagrangin järjestelmien ajallista kehitystä voidaan pitää liikkeenä geodeettisesti erityisessä tilassa. Koko mittarikenttien teoria voidaan esittää tällä tavalla .

Differentiaaligeometria

Jakotukit affiinilla liitännällä

Jakoputkissa, joissa on affiiniyhteys , geodeettinen on käyrä , joka täyttää yhtälön $\nabla$ $\gamma (t)$

\nabla _{\piste {\gamma }}{\piste {\gamma }}=0.

Koordinaattimuodossa tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen Christoffel-symboleilla :

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{ \mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,

missä ovat käyrän koordinaatit. $x^{\mu }(t)$

Toisin sanoen käyrä on geodeettinen, jos sitä pitkin kulkeva rinnakkain siirretty vektori, joka oli tangentti käyrää aloituspisteessä, pysyy tangenttina kaikkialla.

Riemannin ja pseudo-Riemannin monistoja

Riemannin ja pseudo-Riemannin avaruudessa geodeettinen on määritelty energiaintegraalin kriittiseksi käyräksi:

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }g{\big (}\gamma (t),{\piste {\gamma }}(t){\big )}\,dt,

tässä on käyrä avaruudessa, on metriikka . (Fysiikassa tätä integraalia kutsutaan yleisesti toimintaintegraaliksi .) $\gamma (t)$ $g$

Tämä ehto vastaa:

\nabla _{{{\piste \gamma }}}{\piste \gamma }=0

pitkin koko käyrää, jossa tarkoittaa Levi-Civita-yhteyttä . $\nabla$

Metrinen geometria

Metrisissä avaruudessa geodeettinen polku määritellään paikallisesti lyhyimmäksi tieksi , jolla on yhtenäinen parametrointi (usein luonnollisella parametrilla ).

Gaussin lemman mukaan tämä määritelmä määrittelee Riemannin monille saman käyräluokan kuin edellä oleva differentiaaligeometrinen määritelmä.

Käyttö fysiikassa

Geodeettisia viivoja käytetään aktiivisesti relativistisessa fysiikassa. Esimerkiksi vapaasti putoavan varaamattoman testikappaleen liikerata yleisessä suhteellisuusteoriassa ja yleensä metrisissä painovoimateorioissa on geodeettinen viiva suurimmalla oikealla ajalla eli kehon mukana liikkuvien kellojen mittaaman ajan.

Usein fysikaalinen teoria, jolla on toiminto tai joka ilmaistaan Hamiltonin muodossa, voidaan muotoilla uudelleen ongelmaksi löytää geodetiikkaa jostain Riemannin tai pseudo-Riemannin monista.

Katso myös

Kirjallisuus

Grave D. A. Geodeettinen linja // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria. - Mikä tahansa painos.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. . Differentiaaligeometrian ja topologian kurssi. - Mikä tahansa painos.
Postnikov M.M. Geodeesian variaatioteoria. - Mikä tahansa painos.
A. V. Chernavsky . Differentiaaligeometria, 2 kurssia .