Lyhin käyrä on metrisen avaruuden käyrä , joka yhdistää sen kaksi pistettä eikä ylitä pituudeltaan mitään muuta käyrää, jolla on samat päät.
Avaruutta, jolla on luontainen metriikka , jossa kahdelle pisteelle on olemassa lyhin polku, joka yhdistää ne, kutsutaan geodeettiseksi; sen lyhyimmät käyrät ovat määritelmän mukaan geodetiikkaa .
Täydellisessä avaruudessa , jossa on luontainen metriikka , lyhimmän käyrän pituus on sama kuin sen päiden välinen etäisyys .
Hopf–Rinow-lause : Paikallisesti kompaktissa pituusavaruudessa kahden pisteen välillä on lyhin polku.
Yleisessä tapauksessa metrisen avaruuden pisteiden välillä ei välttämättä ole lyhintä polkua, mutta vaikka se olisi olemassa, sen pituus voi ylittää päiden välisen etäisyyden.
Gaussin lemman mukaan Riemannin monissa lyhin luonnollinen parametrisointi on geodeettista .