G2-jakotukki

$G_{2}$ -manifold on seitsemänulotteinen Riemannin monisto , jossa on holonomiaryhmä tai sen alaryhmä. Ne ovat tärkeitä merkkijonoteoriassa , erityisesti M-teoriassa . $G_{2}$

$G_{2}$ -jakotukit ovat nolla Ricci-kaarevuutta , ovat suuntautuvia ja niissä on spinorirakenne.

Geometria

Monistojen geometria liittyy läheisesti seitsenulotteiseen vektorituloon : nämä ovat nimittäin seitsemänulotteisia Riemannin monistoja, joissa jokaisessa tangenttiavaruudessa on vektoritulo, ja tensorikenttänä sen säilyttää Levi- Civita-yhteys (siis seitsemänulotteinen euklidinen avaruus vektoritulolla on yksinkertaisin esimerkki -lajikkeet). Tämä ehto tarkoittaa, että tällaisen metriikan holonomia on ryhmässä : rinnakkaiset käännökset säilyttävät vektoritulon, ja tällaisen tulon automorfismiryhmä on täsmälleen . Toisaalta, jos on olemassa metriikka, jolla on tällainen holonomia, niin ryhmäesitysteoria $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ auttaa näkemään, että vinosymmetristen tensorien avaruudessa on erottuva rinnakkainen yksiulotteinen alikimpu. Sen vakiopituinen osa on seitsemänulotteisten vektoritulojen kenttä. $(2.1)$

Jättämällä pois metriikasta indeksit vektorituloksesta voidaan saada 3-muoto, jota yleensä merkitään tai . Koska se on yhdensuuntainen vääntövapaan liitoksen (eli Levi-Civita-liitännän) alla, se on suljettu. Sen Hodge dual 4-form on myös yhdensuuntainen ja suljettu, joten se on myös harmoninen. Yleisessä 3-muodossa seitsenulotteisessa avaruudessa on stabilisaattori , joten -monijoukot voidaan määritellä minnekään rappeutuneen suljetun 3-muodon avulla. Tämä tuo ne lähemmäksi symplektisiä monistoja (jaostot, joissa ei ole missään degeneroitunut suljettu 2-muoto), mutta on tärkeää ymmärtää, että 3-muoto seitsemänulotteisessa avaruudessa määrittelee metriikan, ja 2-muoto ei koskaan määrittele metriikkaa. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

Kuitenkin tärkeä käsite symplektisesta geometriasta - käsite Lagrangian osamonistosta eli puolimittaisesta osamonisosta siten, että 2-muoto on rajoitettu siihen identtisellä nollalla - siirtyy osittain -monistoon. Nimittäin kolmiulotteista osamonistoa kutsutaan assosiatiiviseksi , jos 4-muoto katoaa, kun siihen korvataan mitkä tahansa kolme tangenttikenttää tälle osajoukolle (tai mikä on sama, 3-muoto rajoittuu siihen kolmion muotona -ulotteinen Riemannin tilavuus). Neliulotteista osamonistoa kutsutaan koassosiatiiviseksi , jos 3-muoto on rajoitettu siihen identtisellä nollalla (vastaavasti 4-muoto on rajoitettu siihen neliulotteisen Riemannin tilavuuden muotona). Nämä nimet selitetään niiden vaihtoehtoisilla määritelmillä vektoritulon kautta: assosiatiivinen aliavaruus in on kolmiulotteinen aliavaruus, joka on suljettu vektoritulon alle (tai jos otetaan huomioon, että seitsemänulotteinen vektoritulo saadaan kertomalla imaginaarista oktaavit imaginaarisina kvaternioneina kuvitteellisissa oktaaveissa joillekin algebroiden upotuksille ). Koassosiatiiviset aliavaruudet ovat täsmälleen assosiatiivisten aliavaruuksien ortogonaalisia komplementteja tai aliavaruuksia, joissa minkä tahansa kahden vektorin vektoritulo on kohtisuorassa tähän aliavaruuteen nähden. $G_{2}$ ${\näyttötyyli \tähti \rho }$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

Toinen analogia, joka on yleisempi fyysikkojen keskuudessa, vertaa assosiatiivisia monistoja monimutkaisiin käyriin Calabi-Yaun 3- sarjassa ja koassosiatiivisia monistoja erityisiin Lagrangian osajoukkoihin. Itse asiassa Calabi-Yaun 3-jakosarjan karteesinen tulo, jossa on Ricci-tasainen metriikka ympyrässä, on seitsemänulotteinen monisto, jossa on holonomia . Lisäksi tässä monimutkaisessa ja ympyrässä olevien kompleksisten käyrien tulot ovat assosiatiivisia, ja erityisten Lagrangin alilukujen tulot ovat koassosiatiivisia. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\subset G_{2))$

Seitsemänulotteisen vektoritulon merkittävä ominaisuus, joka tuo sen lähemmäksi kolmiulotteista, on, että jos on yksikkövektori, niin mille tahansa kohtisuoralle vektorille meillä on . Toisin sanoen vektorin kertolasku yksikkönormaalilla on hypertason endomorfismi neliöitynä kertomalla luvulla , eli yksinkertaisesti monimutkainen rakenne. Siten -monisarjassa jokaisella orientoitavalla hyperpinnalla on luonnollinen lähes monimutkainen rakenne , joka on analoginen Riemannnin pinnan rakenteen kanssa orientoitavalla pinnalla vuonna . Tämän ilmiön seitsemänulotteiseen euklidiseen avaruuteen sovellettuina Calabi löysi (jopa ennen yleisten monistojen käyttöönottoa). Samanaikaisesti, toisin kuin kolmiulotteisessa tapauksessa, tällainen rakenne on erittäin harvoin integroitavissa (eli mahdollistaa analyyttisen atlasin monimutkaisen avaruuden alueilta ): esimerkiksi euklidisen avaruuden tapauksessa Calabi-kriteerin mukaan että tämä lähes monimutkainen rakenne on integroitavissa jos ja vain jos operaattorilla The Weingarten hypersurface on ominaisarvot . Erityisesti tämän hyperpinnan on oltava minimaalinen . Esimerkiksi pallolla oleva standardi lähes monimutkainen rakenne saadaan Calabin lähes monimutkaiseksi rakenteeksi yksikköpallolle . Integroituvan lähes monimutkaisen rakenteen läsnäolo kuusiulotteisella pallolla on äärimmäisen vaikea ongelma (tunnetaan nimellä Chernin arvelu ), jonka tilasta merkittävimpien geometrien mielipiteet eivät ole läheskään yksimielisiä. Samanaikaisesti sellaiset lähes monimutkaiset jakoputket, kuten yksikköpallo, kiinnostavat myös differentiaaligeometriaa: ne muodostavat ns. "suunnilleen Kähler monimutkainen" ( eng. lähes Kähler monimutkainen — tarkkaa käännöstä venäjäksi ei ole vielä selvitetty), eli lähes hermiittisiä monistoja, standardin 2-muodon kovarianttijohdannainen suhteessa Levi-Civita-yhteyteen, jolla on täysin vinossa symmetrinen. Todellisen kuusiulotteisen likimäärin Kählerin moninkertainen metrikartio on -moniosa, ja päinvastoin kartiomaisesti symmetrisen -monijoukon (eli sellaisen, joka hyväksyy multiplikatiivisen ryhmän toiminnan homoteetteilla) osamäärä on luonnollisesti likimäärin Kählerilainen. $u$ $x$ ${\näyttötyyli (x\times u)\times u=-x}$ $-yksi$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ $S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7}$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$

Historia

Vuonna 1955 todistettu Berger–Simons-lause sanoo, että kompaktin Riemannin moniston holonomiaryhmä, joka ei ole paikallisesti symmetrinen , vaikuttaa transitiivisesti yksikkötangenttivektoreihin. Bergerin antama luettelo tällaisista ryhmistä sisälsi sekä ryhmät, jotka siihen aikaan tunnettiin klassisten geometrioiden holonomiaryhminä (esim . yleisen Riemannin moniston holonomiaryhmä tai Kählerin monistojen holonomiaryhmä ), että ne, jotka , kuten myöhemmin kävi ilmi, voivat olla vain paikallisesti symmetristen monistojen holonomiaryhmiä (kuten spinoriryhmä , jonka Berger Alekseevsky poisti luettelosta ). Pitkään uskottiin, että kuvitteellisten oktaavien seitsenulotteiseen avaruuteen vaikuttava ryhmä ei voi olla myös ei-paikallisesti symmetrisen moniston holonomiaryhmä, ja 1960- ja 1980-luvuilla geometrien ponnistelut suuntautuivat tämän todistamiseen. ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Spin} (16)$ $G_{2}$

Bonan osoitti vuonna 1966, että -jakosarja sallii rinnakkaisen 3-muodon ja 4-muotoisen duaalin toisiinsa käyttämällä Hodge-tähteä . Hänen aikanaan ei kuitenkaan ole esimerkkejä monista, joiden holonomiaryhmä on yhtä suuri . Bryant rakensi ensimmäisen esimerkin tällaisesta mittarista vuonna 1987. Vuonna 1989 Bryant ja Salamon rakensivat mittareita täydellisille, mutta ei-kompakteille jakoputkille: spinorikimppu kolmiulotteisen sarjan päälle, jonka poikkileikkauskaarevuus on vakio, ja anti-itse-kaksoismuotojen nipulle neliulotteisen Einstein-sarjan päälle. itsekaksois-Weyl-tensori (esimerkiksi neliulotteinen pallo pyöreällä metriikalla tai kompleksinen projektiotaso Fubini-tutkimuksen metriikalla). Ne ovat osittain analogisia kotangenttikimmun kokonaisavaruuden symplektiselle rakenteelle (tarkemmin sanottuna Kähler-sarjan holomorfisen tangenttikipun kanoninen hyperkähler-metriikka, jota ei vielä tuolloin tiedetty ja jonka 1990-luvulla löytää Faix ja Kaledin ). Nämä osatulokset otettiin todisteeksi siitä, että tällaiset mittarit ovat mahdottomia kompaktissa jakoputkessa. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

Vuonna 1994 tämä näkemys kuitenkin kumottiin: Joyce rakensi useita esimerkkejä kompakteista monistaan holonomiaryhmästä löytääkseen tavan ratkaista analyyttisesti seitsemänulotteisen toruksen tekijän singulaarisuus äärellisen ryhmän yli. Vuonna 1998 MacLean tutki koassosiatiivisten ja assosiatiivisten osamonistojen muodonmuutoksia suljetuissa monistoissa ja havaitsi erityisesti, että koassosiatiivisten lajikkeiden muodonmuutoksia kuvataan niiden sisäisen geometrian perusteella, kun taas assosiatiivisilla lajikkeilla on jonkin Dirac-operaattorin kuvaama muodonmuutosteoria riippuen sulkeutuvaan tilaan, ja ne ovat yleensä jäykkiä. 2000-luvulla keksittiin kierretty kytketty Kovalev -summarakenne, jonka avulla Fano 3 -taitosparista voidaan rakentaa -jakoputkia tietyin yhteensopivuusehdoin. Jakotukkien niput, joiden kuidut ovat koassosiatiivisia (erityisesti niissä on, kuten MacLean ennusti, melko paljon muodonmuutoksia), rakennettiin ensin tällä rakenteella, ja niitä kutsutaan joskus "Kovalev-Lefschetz-pyöriksi" (esim. Donaldson ) . analogisesti K3-pintojen elliptisten käyrien nippujen kanssa, joita kutsutaan historiallisesti "Lefschetz-pyöriksi". Kovalevin rakenteen yleistäminen mahdollisti -rakenteiden saamisen kymmenille tuhansille ei-diffeomorfisille kompakteille jakoputkille. Lisäksi näissä yleistyksessä saatiin lajikkeita, joissa oli assosiatiivisia alalajikkeita. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

Verbitsky loi vuonna 2011 mielenkiintoisen uuden yhteyden -jakotukien geometrian ja kompleksisen geometrian välille : -monisarjan solmuavaruus on (ääretön-ulotteinen) muodollisesti Kählerilainen monisto (toisin sanoen, vaikka se ei hyväksy paikallisia karttoja arvoilla kompleksisessa Fréchet-avaruudessa monimutkaisilla analyyttisillä uudelleenliimausfunktioilla, mutta lineaarialgebrallinen este tällaisten karttojen olemassaololle, Nijenhuis-tensori, katoaa niiltä; huomaamme, että äärellisulotteisessa tapauksessa tämä riittää monimutkaisen analyyttisen atlasin olemassaolo). $G_{2}$ $G_{2}$

Katso myös

Calabi-Yaun avaruus