Vino väliseinä

Graafin vino osio on sen kärkien osio kahdeksi osajoukoksi irrotetun generoidun aligraafin ja komplementin muodossa ; sillä on tärkeä rooli täydellisessä graafiteoriassa .

Määritelmä

Graafin vinossa oleva osio on graafin kärkien osio kahdeksi osajoukoksi ja , jolle luotu osagraafi on irrotettu, ja luotu osagraafi on irrotetun graafin komplementti (jäljempänä "yhteiskytkentäinen"). . Graafin vastaavasti vino osio voidaan kuvata graafin kärkien osiona neljään osajoukkoon , ja , joissa ei ole reunoja kohdasta - , mutta kaikki mahdolliset reunat välillä - . Tällaiselle osiolle generoidut aligraafit ovat sekä irrotettuja että yhdistettyjä, joten voimme ottaa ja . $G$ $X$ $Y$ $G[X]$ $G[Y]$ $G$ $G$ $A$ $B$ $C$ $D$ $A$ $B$ $C$ $D$ $G[A\cup B]$ $G[C\cup D]$ $X=A\cup B$ $Y=C\cup D$

Esimerkkejä

Jokaisella polulla , jossa on neljä tai useampia kärkeä, on vino-osio, jossa yhteiskatkotettu joukko on yksi polun sisäreunoista ja katkaistu joukko koostuu tämän reunan molemmista pisteistä. Kuitenkaan minkään pituisilla jaksoilla ei voi olla vino osiota - riippumatta siitä, mitkä jaksojen osajoukot valitaan joukoksi , joukon komplementissa on sama määrä yhdistettyjä komponentteja, joten on mahdotonta hajottaa olla yhteydessä irti. $Y$ $X$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

Jos kaaviossa on vino osio, on sellainen osio ja sen komplementti . Esimerkiksi polkukomplementeilla on vinoosioita, mutta jaksokomplementeissa ei ole.

Erikoistilaisuudet

Jos graafi on irrotettu, siinä on kolmea yksinkertaista tapausta lukuun ottamatta (tyhjä graafi, graafi, jossa on yksi reuna ja kolme kärkeä tai täydellinen yhteensopivuus neljällä pisteellä) vino-osio, jossa osio koostuu yhden reunan päätepisteistä ja irrotettu puoli koostuu kaikista muista kärjeistä. Samasta syystä, jos graafin komplementti on irrotettu, siinä tulee olla vino osio, lukuun ottamatta vastaavaa kolmen tapauksen joukkoa [1] .

Jos graafissa on klikkierotin ( klikki , jonka poistaminen tekee loput kärjet irti), jossa on useampi kuin yksi kärki, osio klikkiksi ja loput kärjet muodostavat vino-osion. Klikkiosuus, jossa on yksi kärki, on sarana . Jos tällainen kärki on olemassa, niin muutamia yksinkertaisia poikkeuksia lukuun ottamatta on olemassa vino-osio, jossa yhteiskatkospuoli koostuu tästä kärjestä ja yhdestä sen naapureista [1] .

Graafin tähtiosa on pisteerotin , jossa yksi pisteistä on erottimen kaikkien muiden kärkien vieressä. Mikä tahansa napsautuserotin on tähtiosa. Graafilla, jossa on tähtiosuus (jossa on useampi kuin yksi kärki), on välttämättä vino-osio, jossa yhteiskatkotettu osagraafi koostuu tähtiosan kärjeistä ja irrotettu osagraafi koostuu kaikista jäljellä olevista kärjeistä [1] . $G$

Moduuli (tai homogeeninen joukko) on graafin kärkien ei-triviaali osajoukko siten, että jokaiselle pisteelle, joka ei kuulu ryhmään , joko on kaikkien pisteiden vieressä tai ei mikään niistä. Jos graafissa on moduuli ja sen ulkopuolella on pisteitä kaikkien pisteiden vieressä ja muita sen ulkopuolella olevia pisteitä ei ole minkään pisteen vieressä osoitteesta , niin siinä on tähtiosa, joka koostuu yhdestä moduulissa olevasta kärjestä yhdessä sen naapureiden kanssa moduulin ulkopuolella. Toisaalta, jos on moduuli, jossa toinen näistä kahdesta osajoukosta on tyhjä, graafi on irrotettu tai yhdessä irrotettu, ja siinä on jälleen (kolmea yksinkertaista tapausta lukuun ottamatta) vinoosio [1] . $H$ $G$ $v$ $H$ $v$ $H$ $G$ $H$ $H$ $H$ $G$

Historia

Khvatal [2] esitteli vinot osiot täydellisten graafien yhteydessä . Chvatal osoitti, että minimaalisesti epätäydellisellä graafilla ei voi olla tähtiosaa. On selvää, että irrotetut graafit eivät voi olla minimaalisen epätäydellisiä, ja tiedettiin myös, että graafit, joissa on klikkierottimia tai -moduuleita, eivät voi olla minimaalisen epätäydellisiä [3] . Claudy Berge arveli 1960-luvun alussa, että täydellisten graafien täytyy olla samoja kuin Berge-graafit, graafit, joissa ei ole generoitua paritonta jaksoa (pituus viisi tai enemmän) tai sen komplementtia ja (koska sykleissä ja niiden komplementeissa ei ole vinoja osioita) ei graafia. joka ei ole minimaalinen Berge-graafissa voi olla vino osio. Näistä tuloksista kiinnostuneena Chvatal arveli, ettei millään minimaalisen epätäydellisellä graafilla voi olla vino osio. Jotkut kirjoittajat ovat osoittaneet erikoistapauksia tälle olettamukselle, mutta se on jäänyt ratkaisematta pitkään [4] .

Vinot osiot tulivat erityisen tärkeäksi, kun Chudnovskaya, Robertson, Seymour ja Thomas [5] käyttivät niitä todistaakseen vahvan täydellisen graafin lauseen , jonka mukaan Bergen graafit ovat samoja kuin täydelliset graafit. Chudnovskaya ja hänen ryhmänsä eivät pystyneet todistamaan Khvatalin olettamusta suoraan, mutta osoittautuivat heikommaksi tulokseksi, että lauseen minimaalisella vastaesimerkillä (jos sellainen olisi) tulisi olla tasapainoinen vinoosio, jossa jokaisella generoidulla polulla on pää toisella puolella osion ja sisäpisteen toisella puolella on tasainen pituus. Tästä tuloksesta tuli heidän todistuksensa avainlemma, ja Chvatalan lemman täysi versio seuraa heidän lauseestaan [6] .

Rakennegraafiteoriassa

Vino osiot ovat keskeinen komponentti täydellisten graafien rakenteellisessa hajotuksessa, jota Chudnovskaya, Robertson, Seymour ja Thomas käyttivät [5] osana vahvan täydellisen graafin lauseen todistusta. Chudnovskaya ym. osoittivat, että mikä tahansa täydellinen graafi joko kuuluu viiteen täydellisten graafien perusluokkaan tai sillä on yksi neljästä yksinkertaisemmiksi graafisiksi hajottelutyypeistä, ja yksi näistä hajotteluista on vinohajotus.

Seymour antoi yksinkertaisen esimerkin rakenteellisesta hajoamisesta vinoja osioita käyttämällä [6] . Hän huomasi, että mikä tahansa vertailukaavio on täydellinen tai kaksiosainen tai siinä on vino osio. Todellakin, jos mikä tahansa osittain järjestetyn joukon alkio on joko minimi- tai maksimialkio, niin vastaava vertailukäyrä on kaksiosainen. Jos tilaus on valmis , vastaava vertailukaavio on valmis. Jos mitään näistä tapauksista ei tapahdu, mutta mikä tahansa elementti, joka ei ole minimaalinen tai maksimaalinen, on verrattavissa kaikkiin muihin elementteihin, joko osio minimaalisiin ja ei-minimaalisiin elementteihin (jos minimielementtejä on enemmän kuin yksi) tai osio maksimi- ja ei-maksimielementit (jos maksimielementtejä on enemmän kuin yksi) muodostavat tähtiosan. Jäljelle jäävässä tapauksessa on osittaisen järjestyksen elementti, joka ei ole minimaalinen eikä maksimaalinen eikä ole verrattavissa kaikkiin muihin elementteihin. Tässä tapauksessa on vinossa osio (tähtiosan komplementti), jossa yhdistetty puoli koostuu elementeistä, jotka ovat vertailukelpoisia (ei sisällä itseään ), ja irrotettu puoli koostuu muista elementeistä. $x$ $x$ $x$

Sointukaavioissa on vieläkin yksinkertaisempia samanlaisia hajotuksia – ne ovat joko täydellisiä tai niissä on klikkierotin . Hayward [7] osoitti samalla tavalla, että jokaisella yhdistetyllä ja yhteenkytketyllä heikolla sointugraafilla (graafilla, jonka generoitu sykli, jonka pituus on suurempi kuin neljä tai sen komplementti), jossa on neljä tai useampia huippuja, on tähtiosa tai sen komplementti, mistä Chvatalan lemman mukaan. , tästä seuraa, että mikä tahansa tällainen kaavio on täydellinen.

Algoritmit ja monimutkaisuus

Tietyn graafin vino osio, jos se on olemassa, löytyy polynomiajassa . Tämän esittivät alun perin Figueiredo, Klein, Kohayakawa ja Reid [8] , mutta erittäin pitkällä ajoajalla , missä on syötegraafin kärkien lukumäärä. Kennedy ja Reid [9] paransivat ajoaikaa . Tässä on reunojen lukumäärä. $O(n^{101})$ $n$ $O(n^{4}m)$ $m$

Ongelma sen tarkastamiseksi, sisältääkö graafi vino-osion, jossa yksi koirrotetun puolen osista on itsenäinen, on NP-täydellinen ongelma [10] . Sen tarkistaminen, sisältääkö tietty graafi tasapainotetun vino-osion, on myös NP-täydellinen mielivaltaisille graafille, mutta ongelma voidaan ratkaista polynomiajassa täydellisille graafille [11] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Reed, 2008 .
↑ Chvatal, 1985 .
↑ Reed (2008 ). Lovas Lovász (1972 ) käytti moduulien olemattomuutta minimaalisissa epätäydellisissä graafeissa todistuksessaan heikon täydellisen graafin lauseesta .
↑ Katso Cornuéjols, Reed (1993 ) tapauksesta, jossa väliseinän yhdessä irrotettu puoli koostuu useista osista, ja Roussel, Rubio (2001 ) tapauksesta, jossa toinen katkaistun puolen kahdesta osasta on riippumaton.
↑ 1 2 Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas, 2006 .
↑ 12. Seymour , 2006 .
↑ Hayward, 1985 .
↑ de Figueiredo, Klein, Kohayakawa, Reed, 2000 .
↑ Kennedy, Reed, 2008 .
↑ Dantas, de Figueiredo, Klein, Gravier, Reed, 2004 .
↑ Trotignon, 2008 .

Kirjallisuus

Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas. Vahva täydellisen graafin lause // Matematiikan Annals . - 2006. - T. 164 , no. 1 . — S. 51–229 . doi : 10.4007 / annals.2006.164.51 . - arXiv : math/0212070 .
Chvátal V. Tähti-leikkaukset ja täydelliset kaaviot // Journal of Combinatorial Theory . - 1985. - T. 39 , no. 3 . — S. 189–199 . - doi : 10.1016/0095-8956(85)90049-8 .
Gerard Cornuejols, Bruce Reed. Täydelliset moniosaiset leikkausjoukot minimaalisissa epätäydellisissä kaavioissa // Journal of Combinatorial Theory . - 1993. - T. 59 , no. 2 . - S. 191-198 . - doi : 10.1006/jctb.1993.1065 .
Simone Dantas, Celina MH de Figueiredo, Sulamita Klein, Sylvain Gravier, Bruce Reed. Vakaa vino osioongelma // Discrete Applied Mathematics. - 2004. - T. 143 , no. 1-3 . — S. 17–22 . - doi : 10.1016/j.dam.2004.01.001 .
Celina MH de Figueiredo, Sulamita Klein, Yoshiharu Kohayakawa, Bruce Reed. Vinojen osioiden löytäminen tehokkaasti // Journal of Algorithms. - 2000. - T. 37 , no. 2 . — S. 505–521 . - doi : 10.1006/jagm.1999.1122 .
Ryan B. Hayward. Heikosti kolmiomaiset graafit // Journal of Combinatorial Theory . - 1985. - T. 39 , no. 3 . — S. 200–208 . - doi : 10.1016/0095-8956(85)90050-4 .
William S. Kennedy, Bruce Reed. Nopea vino osion tunnistus // Computational Geometry and Graph Theory: International Conference, KyotoCGGT 2007, Kioto, Japan, 11.–15.6.2007, Revised Selected Papers. - Berliini: Springer, 2008. - T. 4535. - S. 101-107. — ( Tietojenkäsittelytieteen luentomuistiinpanot ). - doi : 10.1007/978-3-540-89550-3_11 .
Laszlo Lovasz . Normaalit hypergraafit ja täydellinen graafi-oletus // Diskreetti matematiikka . - 1972. - Osa 2 , no. 3 . — S. 253–267 . - doi : 10.1016/0012-365X(72)90006-4 .
Bruce Reed. Vino osiot täydellisissä kaavioissa // Discrete Applied Mathematics. - 2008. - T. 156 , no. 7 . - S. 1150-1156 . - doi : 10.1016/j.dam.2007.05.054 . Arkistoitu alkuperäisestä 19. syyskuuta 2015.
Roussel F., Rubio P. Tietoja vinoista osioista minimaalisissa epätäydellisissä kaavioissa // Journal of Combinatorial Theory . - 2001. - T. 83 , no. 2 . — S. 171–190 . - doi : 10.1006/jctb.2001.2044 .
Paul Seymour. Kuinka todiste vahvasta täydellisestä graafi-oletuksesta löydettiin // Gazette des Mathématiciens. - 2006. - Ongelma. 109 . — s. 69–83 .
Nicholas Trotignon. Berge-kaavioiden hajottaminen ja tasapainotettujen vinojen osioiden havaitseminen // Journal of Combinatorial Theory . - 2008. - T. 98 , no. 1 . — S. 173–225 . - doi : 10.1016/j.jctb.2007.07.004 . .