Lemma Zolotarev

Numeroteoriassa Zolotarevin Lemma sanoo, että Legendre-symboli

\left({\frac {a}{p}}\right)

kokonaisluvulle a modulo pariton alkuluku p , joka ei jaa a , voidaan laskea permutaatiomerkiksi:

\left({\frac {a}{p}}\right)=\varepsilon (\pi _{a})

missä ε on permutaation etumerkki ja π on nollasta poikkeavien tähteiden permutaatio mod p , joka saadaan kertomalla a :lla .

Todiste Gaussin lemasta

Zolotarevin lemma johdetaan helposti Gaussin lemmasta ja päinvastoin. Esimerkiksi,

\left({\frac {3}{11}}\right)

on Legendre-symboli (a / p) , kun a = 3 ja p = 11. Aloitetaan joukosta {1,2, ..., p-1} kahden rivin matriisina, jotta näiden kahden summa minkä tahansa sarakkeen elementit ovat yhtä kuin nolla modulo r , esimerkiksi:

yksi	2	3	neljä	5
kymmenen	9	kahdeksan	7	6

Käytetään permutaatiota (mod p): $U:x\maps to ax$

3	6	9	yksi	neljä
kahdeksan	5	2	kymmenen	7

Sarakkeilla on myös se ominaisuus, että kahden elementin summa yhdessä sarakkeessa on nolla modulo p. Käytä nyt korvausta V , joka vaihtaa kaikki kaksi paria, joissa yläosa oli alun perin alempi:

3	5	2	yksi	neljä
kahdeksan	6	9	kymmenen	7

Lopuksi käytämme permutaatiota W, joka palauttaa alkuperäisen matriisin:

yksi	2	3	neljä	5
kymmenen	9	kahdeksan	7	6

Siten W −1 = VU. Zolotarevin lemmassa sanotaan, että (a / p) = 1 silloin ja vain, jos permutaatio U on parillinen. Gaussin Lemma sanoo, että (a / p) = 1 jos ja vain jos V on parillinen. Mutta W on parillinen, joten molemmat lemmat ovat ekvivalentteja annetuille (mutta mielivaltaisille) a :lle ja p :lle .

Yleinen tapaus

Yleensä anna olla mikä tahansa äärellinen parillisen järjestyksen ryhmä . Antaa olla osa järjestystä . Toisaalta, jos , niin ei ole neliö jos ja vain jos , Eli on pariton, mutta on parillinen. Toisaalta olkoon elementin luoma permutaatio . On selvää, että se voidaan hajottaa samanpituisten syklien tuotteeksi . Permutaatiopariteetti . Tämä tarkoittaa , että se on pariton permutaatio silloin ja vain, jos se hajoaa parittomaksi määräksi parillisen pituisia syklejä . Siten se on vaikka ja vain jos se on neliö. $G$ $n$ $a\in G$ $d$ $n=2^{r}q,2\nmid q$ $a$ $G$ $2^{r}\mid d$ ${\frac {n}{d))$ $d$ $\pi _{a}:g\mapsto ag$ $a$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ ${\displaystyle \varepsilon (\pi _{a})=(-1)^({\frac {|G|}{d}}(d-1)))$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ $\pi _{a}$ $a$

Legendre-symbolin lauseke saadaan ottamalla nollasta poikkeavien jäännösten ryhmä modulo . Tämän ryhmän järjestys on , ja siksi jopa . $G$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$ $s$ $p-1$ $p>2$

Historia

Tätä lemmaa käytti Egor Ivanovich Zolotarev vuonna 1872 uudessa todistuksessaan neliöllisen vastavuoroisuudesta .

Muistiinpanot

Zolotareff G. Nouvelle demonstraatio de la loi de de réciprocité de Legendre (ranska) // Nouvelles Annales de Mathématiques :lehti. - 1872. - Voi. 11 . - s. 354-362 .

Linkit

Artikkeli PlanetMath-resurssista Zolotarevin lemmästä; sisältää hänen todisteensa neliöllisestä vastavuoroisuudesta.