Yonedan lemma on tulos funktorista Hom ; Cayleyn klassisen ryhmäteoreettisen lauseen kategoriateoreettinen yleistys (jos katsotaan ryhmä yhden objektin kategoriaksi). Lemma antaa meille mahdollisuuden harkita mielivaltaisen luokan upottamista funktioiden luokkaan siitä joukkojen luokkaan . Se on tärkeä työkalu, jonka avulla on voitu saada monia tuloksia algebrallisessa geometriassa ja esitysteoriassa .
Tietyn kohteen mielivaltaisessa (paikallisesti pienessä) kategoriassa voimme tarkastella kovarianttifunktiota Hom , jota merkitään:
.Yonedan lemmassa todetaan , että minkä tahansa luokan objektin luonnolliset muunnokset mielivaltaiseen funktiontoriin kategoriasta joukkojen luokkaan ovat yksi-yhteen vastaavuus elementtien kanssa :
.Tietylle luonnolliselle muunnokselle vastaavaan elementtiin on , eli luonnollisen muunnoksen määrittää yksiselitteisesti identtisen morfismin kuva.
Lemman kontravarianttiversio ottaa huomioon kontravarianttifunktion:
,lähettää monille . Mielivaltaiselle kontravariantille funktorille välillä -
.Muistosääntöä "pudota johonkin" käytetään, kun tarkastellaan morfismia kiinteäksi objektiksi.
Yonedan lemman todistus on esitetty seuraavassa kommutatiivisessa kaaviossa :
Kaavio osoittaa, että luonnollinen muunnos on täysin määritelty , koska mille tahansa morfismille :
.Lisäksi tämä kaava määrittelee luonnollisen muunnoksen mille tahansa (koska kaavio on kommutatiivinen). Todiste ristiriitaisesta tapauksesta on samanlainen.
Yonedan lemman erikoistapaus on, kun funktori on myös Hom-funktionaali. Tässä tapauksessa Yonedan lemman kovarianttiversio sanoo, että:
.Kunkin luokkaobjektin kartoitus vastaavaan Hom-funktioon ja jokainen morfismi vastaavaan luonnolliseen muunnokseen määrittelee kontravariantin funktorin välillä - tai kovarianssifunktion:
.Tässä tilanteessa Yonedan lemma sanoo, että se on täysin univalenttinen funktori eli se määrittelee upottamisen funktioiden kategoriaan .
Vastakkaisessa tapauksessa Yoneda-lemman mukaan:
.Siksi se määrittelee täysin univalentin kovarianttifunktion (Yoneda-upotus):
.