Yonedan Lemma

Yonedan lemma on tulos funktorista Hom ; Cayleyn klassisen ryhmäteoreettisen lauseen kategoriateoreettinen yleistys (jos katsotaan ryhmä yhden objektin kategoriaksi). Lemma antaa meille mahdollisuuden harkita mielivaltaisen luokan upottamista funktioiden luokkaan siitä joukkojen luokkaan . Se on tärkeä työkalu, jonka avulla on voitu saada monia tuloksia algebrallisessa geometriassa ja esitysteoriassa .

Yleinen tapaus

Tietyn kohteen mielivaltaisessa (paikallisesti pienessä) kategoriassa voimme tarkastella kovarianttifunktiota Hom , jota merkitään: $A$

h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)

Yonedan lemmassa todetaan , että minkä tahansa luokan objektin luonnolliset muunnokset mielivaltaiseen funktiontoriin kategoriasta joukkojen luokkaan ovat yksi-yhteen vastaavuus elementtien kanssa : $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$ $FA)$

\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)

Tietylle luonnolliselle muunnokselle vastaavaan elementtiin on , eli luonnollisen muunnoksen määrittää yksiselitteisesti identtisen morfismin kuva. $\Phi$ $h^{A}$ $F$ $FA)$ $u=\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})$

Lemman kontravarianttiversio ottaa huomioon kontravarianttifunktion:

h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)

lähettää monille . Mielivaltaiselle kontravariantille funktorille välillä - $X$ $\mathrm {Hom} (X,A)$ $G$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$

\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)

Muistosääntöä "pudota johonkin" käytetään, kun tarkastellaan morfismia kiinteäksi objektiksi.

Yonedan lemman todistus on esitetty seuraavassa kommutatiivisessa kaaviossa :

Kaavio osoittaa, että luonnollinen muunnos on täysin määritelty , koska mille tahansa morfismille : $\Phi$ $\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})=u$ $f\colon A\to X$

\Phi _{X}(f)=(Ff)u

Lisäksi tämä kaava määrittelee luonnollisen muunnoksen mille tahansa (koska kaavio on kommutatiivinen). Todiste ristiriitaisesta tapauksesta on samanlainen. $u\in F(A)$

Yonedan sijoitus

Yonedan lemman erikoistapaus on, kun funktori on myös Hom-funktionaali. Tässä tapauksessa Yonedan lemman kovarianttiversio sanoo, että: $F$

\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)

Kunkin luokkaobjektin kartoitus vastaavaan Hom-funktioon ja jokainen morfismi vastaavaan luonnolliseen muunnokseen määrittelee kontravariantin funktorin välillä - tai kovarianssifunktion: $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}=Hom(A,-)$ $f\colon B\to A$ $\mathrm {Hom} (f,-)$ $h^{-}$ ${\mathcal C}$ $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$

h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}

Tässä tilanteessa Yonedan lemma sanoo, että se on täysin univalenttinen funktori eli se määrittelee upottamisen funktioiden kategoriaan . $h^{-}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathbf {Set}}$

Vastakkaisessa tapauksessa Yoneda-lemman mukaan:

\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)

Siksi se määrittelee täysin univalentin kovarianttifunktion (Yoneda-upotus): ${\displaystyle h_{-))$

h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}

Kirjallisuus

Freyd, Peter (1964), Abelin kategoriat (2003 uusintapainos), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row , < http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html > .
McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .