Lemma kuudennessa ympyrässä

Kuudes ympyrälemma [1] väittää seuraavaa.

Vuonna nelikulmio kirjoitettu (ensimmäinen) ympyrä , läpi neljä paria vertices ja , Ja , Ja , ja piirtää yksi ympyrä (neljä ympyrää) siten, että pisteet niiden parittainen leikkaus sijaitsevat sisällä ensimmäinen ympyrä. Sitten makaa yhdellä (kuudennella) ympyrällä $ABCD$ $A$ $B$ $B$ $C$ $C$ $D$ $D$ $A$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ .

Alla oikealla oleva kuva vastaa lauseen viimeistä lausetta, jos se on merkitty . $Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}$

Huomautus

Yllä olevaa lausetta kutsutaan myös Miquelin kuuden ympyrän lauseeksi ilman viittausta tiettyyn nelikulmioon (katso alla oleva kuva).) Olkoon 4 pistettä, "A", "B", "C" ja "D", ja 4 ympyrät leikkaavat pareittain näissä pisteissä sekä 4 muussa pisteessä W , X , Y ja Z . Sitten viimeiset 4 pistettä ovat yhteisellä ympyrällä. Tämä lause tunnetaan "kuuden ympyrän lauseena" [2] (katso kuva).

Seuraukset

$ABCD$ on sisäänkirjoitettu nelikulmio. on pisteestä diagonaaliin pudonneen kohtisuoran kanta ; pisteet määritellään samalla tavalla . Sitten pisteet sijaitsevat samalla ympyrällä. Todistus seuraa kuudennen ympyrän lemmasta. $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
$ABCD$ on sisäänkirjoitettu nelikulmio. on kolmion BCD piirretyn ympyrän keskipiste; pisteet määritellään samalla tavalla . Sitten se on suorakulmio. Todistus seuraa kuudennen ympyrän lemmasta. Tätä seurausta kutsutaan joskus japanilaiseksi lauseeksi (katso kuva). $A_{1}$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$

Olkoon ympyrä, joka on piirretty mielivaltaiseen kolmioon, joka on sivun tangentti kohdassa , ja excircle tangentti sivua kohtaan pisteessä . Sitten pisteet sijaitsevat samalla ympyrällä. Todistus seuraa kuudennen ympyrän lemmasta. $ABC$ $AC$ $X$ $AC$ $Y$ $A_{1},Y,C_{1},X$
Vuonna kolmio , Perusteet, perpendiculars putosi päälle puolittaja kulman verticleen ja vastaavasti; - korkeus, - sivun keskiosa . Sitten pisteet ja makaavat samalla ympyrällä. Lisäksi pisteiden läpi kulkevan ympyrän keskipiste on kolmion ABC yhdeksän pisteen ympyrällä . Todistus seuraa kuudennen ympyrän lemmasta. $ABC$ $A_{1},C_{1}$ $B$ $A$ $C$ $BB_{1}$ $D_{1}$ $AC$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$ $D_{1}$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Historia

Tätä lausetta kutsutaan joskus neljän ympyrän teoreemiksi ja se johtuu Jakob Steineristä, vaikka ainoan tunnetun julkaistun todisteen antoi Miquel [3] .

Wells viittaa tähän lauseeseen "Miquelin lauseena" [4]

Mahdollisia muunnelmia ja yleistyksiä

Mielenkiintoista on, että tämän lauseen yleistäminen edelleen Lemman seitsemännellä ympyrällä on mahdotonta. Tämän osoittaa seuraava vastaesimerkki oikealla olevan kuvan muodossa, joka on otettu Miquelin pisteosiosta (katso kappale " Miquelin lause viisikulmiosta (viisisakaraiselle tähdelle) "). Tämän osoittaa seuraava ilmeinen lausunto:

”Jos viidellä ympyrällä (kuvassa ne ovat mustia) on 5 pistettä niiden pareittain leikkauspisteestä M, N, P, R, Q yhdellä (sinisellä) ympyrällä (yhteensä 6 ympyrää), niin tästä, yleisesti. Tässä tapauksessa ei suinkaan seuraa, että 5 muuta (ei mainittu edellä mainittua) pistettä niiden parittaisesta leikkauspisteestä A, B, C, D, E ovat myös samalla ympyrällä (7. ympyrällä)." Kuvassa tämä on aivan ilmeistä, koska viisikulmiota ABCDE ei selvästikään ole merkitty ympyrään (7. peräkkäin).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Arkhimedes-ongelman ympärillä. Lemma 4 Arkistoitu 29. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa , fig. 10, s. 5
↑ Lukion opettaja Ranskan maaseudulla (Nantua) Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, s. 94
↑ Lukion opettaja Ranskan maaseudulla (Nantua) Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, s. 352
↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. s. 151-152

Kirjallisuus

Coxeter, HSM & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , voi. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H.G. (1960), Geometry , Lontoo: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5. painos), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6