Palautteen linearisointi

Palautteen linearisointi on tapa viedä muodossa abstraktisti kuvattu järjestelmä muotoon, jossa on jokin ulkoinen ohjaustoiminto. Tässä tapauksessa epälineaarisesta järjestelmästä tulee lineaarinen, ja ulkoinen ohjaus on järjestetty järjestelmän jäljellä olevan lineaarisen osan stabiloimiseksi ja ohjaamiseksi. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $v$

Ohjauslakina tätä ohjauslakia sovelletaan yleensä ja se johtaa usein ohjaustavoitteeseen, jos funktio on laskettavissa. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Skalaarijärjestelmän palautelinearisointi

Tarkastellaan yhden tulon ja yhden lähdön järjestelmän takaisinkytkentälinearisointia. Samanlaisia tuloksia voidaan saada järjestelmillä, joissa on useita tuloja ja lähtöjä. Esitetään alkuperäinen järjestelmä seuraavasti:

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ loppu{tasattu}}

missä on järjestelmän tilavektori,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

syöttö,

y\in {\mathbb {R}}

poistu.

Etsi muunnos, joka muuttaa järjestelmän normaalimuotoon: $z=T(x)$

{\näyttötyyli u=a(x)+b(x)v,}

nyt järjestelmä esitetään tulo-ulostulona suhteessa uuteen tuloon ja ulostuloon . Jotta muunnettu systeemi olisi ekvivalentti alkuperäisen kanssa, muunnoksen on oltava diffeomorfismi , eli sen tulee olla ei vain yksiarvoinen, vaan myös tasainen. Käytännössä muunnos voi olla paikallinen diffeomorfismi, mutta tällöin linearisoinnin tulokset säilyvät vain tällä paikallisella alueella. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Valheen derivaatta

Takaisinkytkentälinearisoinnin ongelmana on rakentaa muunnettu järjestelmä, jonka tilat ovat lähtö ja sen ensimmäiset derivaatat. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi käytämme Lie derivaatta . Tarkastellaan kohdan (2) aikaderivaatta, joka voidaan laskea käyttämällä yhdistefunktion differentiaatiosääntöä : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\piste {y}}={\frac {\operaattorinimi {d} h(x)}{\operaattorinimi {d} t}}&={\frac {\operaattorinnimi {d } h(x)}{\operaattorinimi {d} x}}{\piste {x}}\\&={\frac {\operaattorinimi {d} h(x)}{\operaattorinimi {d} x}}f (x)+{\frac {\operaattorinnimi {d} h(x)}{\operaattorinimi {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.

Nyt voimme määritellä kautta Lie derivaatan seuraavasti : $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operaattorin nimi {d}h(x)}{\operaattorin nimi {d}x}}f(x),

ja vastaavasti Lie-johdannainen kautta : $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\operaattorin nimi {d}h(x)}{\operaattorin nimi {d}x}}g(x).

Ottamalla käyttöön nämä merkinnät määrittelemme seuraavasti: ${\piste {y}}$

{\piste {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.

On huomattava, että Lie-johdannaisten käyttö on kätevää, kun otetaan useita derivaattoja joko suhteessa samaan vektorialueeseen tai suhteessa toiseen. Esimerkiksi:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operaattorinimi {d} (L_{f}h(x))}{ \operaattorinimi {d} x}}f(x)

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\operaattorinnimi {d}(L_{{f}}h(x))}{\operaattorinnimi {d}x}}g( x).

Suhteellinen tutkinto

Linearisoitavassa järjestelmässä tilavektori koostuu lähtömuuttujasta ja sen ensimmäisistä derivaatoista. On tarpeen ymmärtää, kuinka syöte syötetään järjestelmään. Tätä varten otamme käyttöön suhteellisen tutkinnon käsitteen. Järjestelmällä (1), (2) on suhteellinen aste jossakin pisteessä, jos: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

naapurustossa kaikille : _

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}h(x_{0})\neq 0

Siten johtopäätöksen [1] mukaan järjestelmän suhteellisena asteena voidaan katsoa, kuinka monta kertaa ulostulo on ajallisesti eriytettävä siihen hetkeen asti, jolloin ohjaus näkyy eksplisiittisesti lähtösignaalissa . $y$ $y$ $u$ $y$

Samanaikaisesti lineaaristen stationaaristen järjestelmien teoriassa suhteellinen aste on siirtofunktion osoittajan ja nimittäjän polynomien asteiden ero.

Palautteen linearisointi

Lisäksi oletetaan, että järjestelmän suhteellinen aste on yhtä suuri kuin . Tässä tapauksessa, erottamalla lähtöajat , meillä on: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\piste {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}h(x)\\&\vpisteet \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},

jossa tarkoittaa :n johdannaista . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

Koska järjestelmän suhteellinen aste on , For-muodon Lie derivaatat ovat kaikki yhtä suuria kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että syöte ei vaikuta suoraan mihinkään ensimmäisistä johdannaisista. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}h(x)$ $i=1,\pisteet,n-2$ $u$ $(n-1)$

Muunnos , joka tuo järjestelmän normaalimuotoon, voidaan määritellä ensimmäisillä derivaatoilla. Erityisesti: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\piste {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmatrix}}

muuntaa vaiheradat alkuperäisestä koordinaatistosta uuteen . Koska annettu muunnos on diffeomorfismi , tasaisella liikeradalla alkuperäisessä avaruudessa on ainutlaatuinen vastine avaruudessa , joka on myös tasainen. Nämä lentoradat avaruudessa kuvaavat uutta järjestelmää: $x$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\piste {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\piste {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{cases}}.

Siten takaisinkytkennän ohjauslaki on lineaarinen siirtofunktio välillä . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)))(-L_{{f}}^{{n}}h (x)+v)$ $v$ $z_{1}=y$

Tuloksena oleva linearisoitu järjestelmä on:

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\piste {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \piste {z}}_{n}&=v\end{cases}}

on integraattoreiden kaskadi, ja ohjaus voidaan saada standardimenetelmillä, joita käytetään lineaaristen järjestelmien ohjausteoriassa. Erityisesti ohjauslaki, jossa tilavektori sisältää lähdön ja sen ensimmäiset derivaatat, mikä johtaa lineaariseen järjestelmään $n$ $v$ $v=-Kz\qquad ,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\piste {z}}=Az,

missä

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\lpisteet &0\\0&0&1&\lpisteet &0\\\vpisteet &\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\0&0&0&\lpisteet &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Siten valitsemalla sopivat , voidaan mielivaltaisesti järjestää suljetun linearisoidun järjestelmän navat. $k$

Kirjallisuus

Andreev Yu. I. Ääriulotteisten lineaaristen objektien ohjaus. - M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Vakaus, hallittavuus, havaittavuus. - M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Juštšenko A. S. Automaattisen ohjausjärjestelmän diskreettien järjestelmien teoria. - M.: Nauka, 1983.
Leung L. Järjestelmien tunnistaminen. Teoria käyttäjälle. Per. englannista. /Toim. Tsypkina Ya. Z. - M .: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Automaattinen ohjaus. - M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Uuden tyyppinen palaute. Hallinto epävarmuuden alla. - M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3. painos, Springer Verlag, Lontoo, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, 3. painos, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2. painos, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, faksiversio, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

Muistiinpanot

↑ Arkistoitu kopio . Haettu 24. heinäkuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 24. heinäkuuta 2019. (määrätön)

Katso myös

Epälineaarinen ohjaus