Dirac-matriisit (tunnetaan myös nimellä gamma-matriisit ) ovat joukko matriiseja, jotka täyttävät erityiset antikommutaatiosuhteet. Käytetään usein relativistisessa kvanttimekaniikassa.
Dirac-matriisit ovat mikä tahansa joukko matriiseja, jotka täyttävät yhtälön
missä on allekirjoituksen Minkowski-metriikka I on identiteettimatriisi, kiharat aaltosulut merkitsevät antikommutaattoria .
Yksi mahdollinen tapa valita Dirac-matriiseja 4D-avaruudessa on seuraava:
(Dirac-esitys; käytetään myös Weylin ja Majoranan esityksiä ).
On hyödyllistä määritellä neljän gammamatriisin tulo seuraavasti:
(Diracin edustuksessa).
voidaan kirjoittaa vaihtoehtoisessa muodossa:
missä on Levi-Civita-tensori .
Tämä matriisi on hyödyllinen, kun keskustellaan kvanttimekaniikan kiraalisuudesta. Siten Diracin spinorikenttä voidaan projisoida sen vasemmalle tai oikealle komponentille:
.Jotkut ominaisuudet :
Dirac-matriisit voidaan kirjoittaa tiiviisti lohkomatriiseiksi käyttämällä Pauli-matriiseja σ 1 , σ 2 , σ 3 , joita täydentää identiteettimatriisi I . Diracin mielestä:
Weilin esityksessä ne pysyvät samoina, mutta eroavat, siksi myös muuttuvat:
Weyl-esityksen etuna on, että kiraaliset projektiot saavat yksinkertaisen muodon:
Siellä on myös esitys Majoranasta , jossa kaikki gamma-matriisit ovat kuvitteellisia ja spinorit ovat todellisia:
Modernissa tieteessä pääominaisuus on gammamatriisien määrittävä ominaisuus, ei niiden numeerinen esitys.
Ei. | Identiteetti |
---|---|
yksi | |
2 | |
3 | |
neljä | |
5 |
Ei. | Identiteetti |
---|---|
0 | |
yksi | Jokaisella parittoman luvun tulolla on nolla jälki. |
2 | |
3 | |
neljä | |
5 |
Firtz-identiteetit pätevät myös Dirac-matriiseille .
Gammamatriisien määritelmä on yleistetty muiden ulottuvuuksien avaruuksiin, joissa niiden lukumäärä voi vaihdella.