Lagrangen menetelmä neliöllisen muodon pelkistämiseksi kanoniseen muotoon

Lagrange - menetelmä on menetelmä neliön muotoisen muodon pelkistämiseksi kanoniseen muotoon , jonka Lagrange esitti vuonna 1759 .

Kuvaus

Tämä menetelmä koostuu peräkkäisten täysien neliöiden valinnasta toisen asteen muodossa. Olkoon neliömuoto:

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

Matriisin symmetrian vuoksi neliömuoto voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $a_{{ij}}(a_{{ij}}=a_{{ji}})$

{\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}}={\sum _{ {i=1}}^{n}({a_{{ii}}{x_{i}}^{2}+\sum _{{j=i+1}}^{n}{2a_{{ij }}x_{i}x_{j}}})}

Kaksi tapausta on mahdollista:

vähintään yksi neliökertoimista on nollasta poikkeava. Yleisyyttä menettämättä oletamme (tämä voidaan aina saavuttaa numeroimalla muuttujat asianmukaisesti uudelleen); $a_{{ii}}$ $a_{{11}}\neq 0$
kaikki kertoimet , mutta on olemassa nollasta poikkeava kerroin (olkoon se tarkkuuden vuoksi ). $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$ $a_{{ij}},i\neq j$ $a_{{12}}\neq 0$