Keittiön menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Keittiön menetelmä (strike-through method) on jakomenetelmä , jota käytettiin eniten Euroopassa noin 1600-luvulle asti ja joka oli edelleen suosittu 1700-luvun loppuun asti [4] . Menetelmä syntyi kiinalaisten ja intialaisten menetelmien pohjalta. Al-Khwarizmi mainitsee menetelmän vuoden 825 teoksissa [4] ja Luca Pacioli vuonna 1492 [3] .

Toisin kuin aikaisemmissa menetelmissä, tässä menetelmässä numeroita ei pyyhitty pois vaan yliviivattu [4] . Se on samanlainen kuin nykyaikainen sarakkeella jakomenetelmä, mutta keittiömenetelmässä osittaistulojen vähentäminen eteni vasemmalta oikealle, ei oikealta vasemmalle, kuten nykyaikaisissa menetelmissä.

Menetelmä sai nimensä laskennan aikana tallennettujen linjojen samankaltaisuudesta samannimisen aluksen siluetin kanssa [4] [3] . Samaan aikaan numeroiden yliviivaamiseen käytetyt vinot viivat muistuttivat airoja. Joskus samankaltaisuuden saavuttamiseksi piirrosta on käännettävä 90 ° [5] .

Samanlaista menetelmää käytettiin myös juurien erottamiseen .

Historia

Kasvavan lukukapasiteetin aritmeettisista operaatioista tulee erittäin työläitä ja herkkiä mekaanisille virheille, ja jako on niistä vaikein. "Vaikea bisnes on jako" ( italialainen dura cosa e la partita ) oli ikivanha italialainen ilmaisu [6] :40 .

Vaikka jakautumista pidettiin vaikeana toimenpiteenä Euroopassa 1400-luvulle asti, jakamista ei pidetty erityisen vaikeana Kiinassa ja Intiassa [4] [7] . Jakomenetelmä mainitaan teoksessa " Mathematics in Nine Books " (2. vuosisadalla jKr.), ja se on kuvattu yksityiskohtaisesti Sun Tzun (3.-5. vuosisadalla) Mathematical Traktissa [4] . Monet intialaiset matematiikan teokset eivät kuvaa jakomenetelmää, koska oletetaan sen olevan tiedossa. Esimerkiksi Aryabhata (499) ei kirjoita jakomenetelmästä , vaikka epäilemättä jakomenetelmä oli hänen lukijoilleen tuttu, koska Aryabhata kuvaa menetelmää juurien poimimiseksi, joka vaatii jakamista. Intian matematiikassa kiinalaista vastaavan jakomenetelmän mainitsee ensimmäisenä Sridhari (noin 800). Yksityiskohtaisen kuvauksen menetelmästä on antanut Aryabhata II X-luvulla [7] .

Intialainen menetelmä tehtiin hiekalla tai liidulla taululle. Kiinalainen menetelmä käytti tikkuja numeroina. Molemmissa tapauksissa numerot oli helppo pyyhkiä pois. Näissä menetelmissä jakaja kirjoitettiin osingon alapuolelle. Kuten nykyaikaisessa sarakejakomenetelmässä , osingosta vähennettiin osatulot ( eli jakajan tulot vastauksen jokaisella numerolla siirrettynä sopivalla määrällä numeroita). Toisin kuin nykymenetelmässä, vanha osinko kuitenkin pyyhittiin pois ja ero kirjoitettiin tilalle, kun taas itse osatuloa ei kirjoitettu, eikä sitä edes laskettu, ja vähennys tapahtui pala kerrallaan vasemmalta oikealle. Sen jälkeen jakaja siirrettiin yhden numeron verran oikealle (tätä operaatiota keskiaikaisessa Euroopassa kutsuttiin latinaksi anterioratio ) [7] [4] . Kiinassa (ja mahdollisesti intialaisessa menetelmässä) osamäärä kirjoitettiin jakajan päälle [4] .

Tämä menetelmä tuli tunnetuksi arabien keskuudessa Al-Khwarizmin teoksista (825) [7] [4] . Sieltä tämä menetelmä tuli Eurooppaan [7] . Euroopassa jako tehtiin musteella paperille, minkä vuoksi jakomenetelmä muuttui luonnollisesti, koska numeroita ei pyyhitty pois vaan yliviivattu [3] [7] [4] . Kun jakajasta vähennettiin osatulot, tulos kirjoitettiin päälle. Osamäärän kirjoittamisesta osingon päälle tuli epäkäytännöllistä, sitä alettiin kirjoittaa oikealle [4] . Tämä muunnos tuli tunnetuksi keittiömenetelmänä ( galea, batello ) [7] , britit kutsuivat tätä menetelmää myös scratch-menetelmäksi [5] [ 7 ] .

Kuuluisa italialainen matemaatikko Niccolò Tartaglia (XVI vuosisata) kirjoitti kuuluisassa aritmeettisessa oppikirjassaan menetelmästä seuraavaa [6] :41 :

Toista jakotapaa kutsutaan Venetsiassa veneeksi tai keittiöksi, johtuen tästä johtuvasta hahmosta tietynlaisesta samankaltaisuudesta, koska joidenkin lukujen jaossa muodostuu veneeltä näyttävä hahmo ja toisissa. - kuin keittiö, joka on todella kaunis; joskus keittiö on hyvin viimeistelty ja varustettu kaikilla lisävarusteilla - se on aseteltu numeroista siten, että se todella näkyy keittiön muodossa, jossa on perä ja keula, masto, purjeet ja airot.

Alkuperäinen teksti (italiaksi)[ näytäpiilottaa] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, materiale, & in alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso in talmente dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela ja remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

On mielenkiintoista huomata, että mustekeittiömenetelmä tuotiin takaisin Kiinaan Euroopasta ja julkaistiin eurooppalaisessa aritmeettisessa tutkielmassa 1613 [4] .

Venäjällä keittiön menetelmää käytettiin 1700-luvun puoliväliin asti: Leonty Magnitskyn "Aritmetiikassa" se kuvataan kuuden siellä ehdotetun jakomenetelmän joukossa, ja kirjoittaja suosittelee sitä erityisesti; Magnitsky käyttää koko kirjansa materiaalin esittelyn ajan pääosin keittiömenetelmää mainitsematta itse nimeä [6] :41,42 .

Keittiön menetelmän kanssa kilpaili ns. "italialainen menetelmä" [3] (tai "kultainen jako" [5] ), joka tunnetaan nykyään sarakkeiden jakamisena . Tämä menetelmä ilmestyi painettuna vuonna 1491 Calandri "Aritmetiikassa" [8] , vaikka jo aikaisemmin se löydettiin 1400-luvun käsikirjoituksista [3] . Siinä osatuote laskettiin ja kirjoitettiin suoraan osingon alle, sitten vähennettiin osingosta ja tulos kirjoitettiin alle. Vähennys suoritettiin, kuten tavallisessa sarakkeen lisäyksessä , vähiten merkitsevistä numeroista alkaen, mikä mahdollisti tallennuksen säästämisen, mutta samalla piti muistaa purkauksen siirto mielessä [3] . Tämän menetelmän tärkein etu on, että kaikki toiminnot näkyvät sen tallennuksesta - tämä helpottaa laskelmien tarkistamista ja virheiden nopeaa korjaamista. Tämän menetelmän haittana on kuitenkin se, että siinä sinun on kerrottava moninumeroiset luvut yksinumeroisilla [5] .

Myöhemmin ilmestyi lyhennetty jakomenetelmä ("itävaltalainen menetelmä"). Se oli samanlainen kuin italialainen, mutta toisin kuin se, siinä, kuten keittiömenetelmässä, osittaisia tuotteita ei laskettu erikseen - ne vähennettiin välittömästi pala bitiltä. Toisin kuin keittiömenetelmässä, vähennyksiä tehtiin vähiten merkitsevistä numeroista alkaen, mikä mahdollisti tallennuksen säästämisen. Siten tämä menetelmä yhdisti keittiömenetelmän ja italialaisen menetelmän edut [3] . Tämän menetelmän haittana on, että laskimen täytyy tallentaa enemmän tietoa mieleen.

Kaikki nämä menetelmät kilpailivat Euroopassa "raudanjaon" kanssa: matemaatikkomunkki Herbertin (tuleva paavi Sylvester II) [5] kuvaama abacus -jakomenetelmä .

Metodin olemus

Keittiön menetelmä, vaikkakin vaikeampi kirjoittaa, on samanlainen kuin nykyaikainen sarakejakomenetelmä . Kuten sarakkeella jakamisen yhteydessä, osamäärä lasketaan numeroilla alkaen merkittävimmästä numerosta: jokaisessa vaiheessa valitaan osamäärän yksi numero. Suurin numero otetaan yksityiseksi numeroksi siten, että osatulo (tämän luvun ja jakajan tulo siirrettynä vastaavalla määrällä numeroita) voidaan vähentää osingosta, vaikka se jää positiivisiksi luvuiksi. Sen jälkeen osingosta vähennetään osatulo, itse jakaja siirretään bitin vasemmalle ja prosessi toistetaan. Toisin kuin nykyisessä sarakkeella jaossa, keittiömenetelmässä osittaistuloa ei lasketa, vaan vähennys tapahtuu numeroilla vasemmalta oikealle. Myös keittiömenetelmässä vähennyksen tulos kirjoitetaan yläreunaan, ei alareunaan.

Esimerkki

Tarkastellaan esimerkkiä Treviso Aritmeticista (1478), jossa 65284 jaetaan luvulla 594 [4] . Esimerkki on jaettu useisiin vaiheisiin: kussakin vaiheessa tässä vaiheessa lisätyt numerot on lihavoitu ja yliviivatut numerot kursivoitu. Havainnoinnin helpottamiseksi numerot, joilla toiminnot suoritetaan, on korostettu värein; itse asiassa menetelmässä käytettiin vain yhtä väriä mustetta.

Ensin jakaja ( 594 ) kirjoitettiin osingon ( 65284 ) alle:

65284 594

Vaihe 1: Jakaja 594 syöttää 652 :een vain kerran . Osamäärän ensimmäinen numero on siis 1 . Kirjoitamme sen oikealle ja vähennämme osingosta 1 × 594 (siirretty kahdella numerolla). Keittiömenetelmässä tämä tehdään vasemmalta oikealle: ensin ensimmäinen numero (5), sitten toinen numero (9) ja lopuksi viimeinen numero (4) vähennetään vastaavista numeroista.

652 84 \| 1 594 Vaihe 1 : 594 syöttää 652 : n kerran .	1 6 5284 \| 1 5 94 Vaihe 1a : 6–5 = 1	1 6 6 5 284 \| 1 5 9 4 Vaihe 1b : 15–9 = 6	5 1 6 8 65 2 84 \| 1 59 4 Vaihe 1c : 62–4 = 58

652 84 | 1 594

Vaihe 1 : 594 syöttää
652 : n kerran .

1 6 5284 | 1 5 94

Vaihe 1a : 6–5 = 1

1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

Vaihe 1b : 15–9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

Vaihe 1c : 62–4 = 58

Vaihe 2: Siirrä jakajaa yksi bitti oikealle ( anterioratio ). Koska tuloksena oleva offset-jakaja ( 594 ) on suurempi kuin osingosta ( 588 ... ) jää jäljelle, emme voi vähentää jakajaa edes kerran, mikä tarkoittaa, että osamäärän toinen numero on 0 :

5 16 8 652 8 4 \| 1 0 594 4 59 Vaihe 2: 594 menee 588 nolla - aikoihin.

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

Vaihe 2: 594 menee 588 nolla
- aikoihin.

Vaihe 3: Siirrä jakajaa vielä yksi bitti oikealle. Nyt meidän on vähennettävä 594 luvusta 5884 . Tämä voidaan tehdä 9 kertaa. Kirjoita osamääräksi 9 ja vähennä osingosta 9 × 594 . Tässä tapauksessa emme laske 9 × 594 , vaan yksinkertaisesti vähennämme 9 × 5 , 9 × 9 ja 9 × 4 vastaavista numeroista.

5 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Vaihe 3: 594 siirtyy 5884 : ään yhdeksän kertaa.	1 5 3 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Vaihe 3a: 58 − 9 × 5 = 13	1 5 5 3 168 7 652 8 4 \| 109 59444 59 9 5 Vaihe 3b: 138 − 9 × 9 = 57	1 5 53 3 168 7 8 6528 4 \| 10 9 5944 4 599 5 Vaihe 3c: 74 − 9 × 4 = 38

5 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Vaihe 3: 594 siirtyy 5884
: ään yhdeksän kertaa.

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Vaihe 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

Vaihe 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4 | 10 9 5944 4 599 5

Vaihe 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Vastaus: jakamalla 65284 luvulla 594 saadaan osamäärä 109 ja jäännös on 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284 \| 109 59444 599 5 Täysi laskennan tulos

1 5 53 3 1687 8 65284 | 109 59444 599 5

Täysi laskennan tulos

Vertailu muihin menetelmiin

Vertailun vuoksi esitämme saman jaon numeroiden poistamisella sekä italialaisilla ja itävaltalaisilla menetelmillä [3] . Kuten edellä mainittiin, nämä menetelmät eroavat tavasta, jolla ne vähentävät osatulon. Esimerkiksi viimeinen vaihe vähentää osittaistulon 9×594. Italialaisessa menetelmässä lasketaan ensin 9×594=5346, jonka jälkeen tulos vähennetään. Keittiömenetelmässä ja menetelmässä, jossa numerot poistetaan, tuloa ei lasketa, vaan se vähennetään peräkkäin: 9×500, 9×90, 9×4. Samanaikaisesti menetelmässä, jossa numerot poistetaan, tulos kirjoitetaan vähennetyn tilalle, ja keittiömenetelmässä se kirjoitetaan päälle ja vanhat luvut yliviivataan. Lopuksi itävaltalaisessa menetelmässä tuloa ei myöskään lasketa, vaan se vähennetään peräkkäin: 9×4, 9×90, 9×500. Koska vähennyslaskelmat alkavat alemmilla biteillä, kussakin vaiheessa kirjoitetaan vain yksi bitti ja merkittävin bitti siirretään , mikä mahdollistaa merkinnän lyhentämisen, mutta vaatii sinun muistaa kantaa mielessäsi.

Digitaalinen poistomenetelmä	65284 \| 594 594 \| 109 5884 5346 538 Italialainen menetelmä	65284 \| 594 5884 \| 109 538 Itävaltalainen menetelmä

Digitaalinen poistomenetelmä

65284 | 594 594 | 109 5884 5346 538

Italialainen menetelmä

65284 | 594 5884 | 109 538

Itävaltalainen menetelmä

Vaihtoehdot

Ei yliviivattuja numeroita

Joskus numeroita ei yliviivattu. Tässä tapauksessa huomioitiin vain korkein ja pienin numero. Tässä tapauksessa sarakkeen yläosaan kirjoitettiin yliviivauksen sijaan nollia. Katso artikkelin alussa oleva kuva.

Osatuotteiden laskennalla

Joskus laskettiin osittaisia tuotteita. Tämä vaihtoehto ei käytännössä eroa nykyaikaisesta sarakkeen jaosta. Ainoa ero on siinä, missä numerot kirjoitetaan: keittiömenetelmä käyttää vähemmän paperia, koska numerot kirjoitetaan tiiviimmin, eikä niiden väliin ole tyhjää tilaa. Mutta kun jaetaan sarakkeella, laskelmat ovat näkyvämpiä ja helpompia tarkistaa.

Esimerkkinä tästä vaihtoehdosta harkitse 44977:n jakamista 382: lla [2] . Yksi luku vastaa osamäärän yhden desimaalin saamista.

1) 67 (Kertokerta: 1 x 382 = 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Ero: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Kertokerroin: 1 x 382 = 382 ) 67 5 (Ero: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Kertokerroin: 7 x 382 = 2674 ) 29 8 (Ero: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Vastaus: Yksityinen 117 , loput 283 . 3822 4 38 7 26

Osaston tarkistus

Oli tapa tarkistaa pienellä numerolla jaon jäännökset . Useimmiten käytettiin tapaa tarkistaa jäännöksillä 9 , koska 9:llä jaettuna jäännös on erittäin helppo löytää: etsi vain luvun numeroiden summa. Tämä tarkistusmenetelmä ei kuitenkaan löytänyt yleisiä virheitä, kun numero putosi väärään paikkaan. Siksi käytettiin myös luotettavampia, mutta monimutkaisempia menetelmiä: tarkastettiin jäännökset 7 tai 11.

Menetelmän ydin on seuraava. Oletetaan, että kun jaetaan luku luvulla, saadaan epätäydellinen osamäärä ja jäännös . Tämä tarkoittaa, että . Tämän yhtäläisyyden tarkistamiseksi laskettiin jäännökset , , ja pienelle luvulle (esimerkiksi 9). Olkoon nämä jäännökset , , ja vastaavasti . Sitten ja täytyy olla sama loppu. $A$ $B$ $K$ $R$ $A=BQ+R$ $A$ $B$ $K$ $R$ $a$ $b$ $q$ $r$ $a$ $bq+r$

Nämä jäännökset kirjoitettiin "lipun" muodossa: Joskus ristin + sijasta käytettiin ristiä × . ${\begin{array}{c|c}q&r\\\hline b&a\end{array)).$

Esimerkiksi Niccolo Tartaglia [1] :34 jakamalla 912345 luvulla 1987 sai 459 ja 312 loput. Tämän tarkistamiseksi hän otti näiden lukujen jäännökset jaettuna seitsemällä: 912 345 antaa jäännöksen 0, 1987 antaa 6, 459 antaa 4, 312 antaa 4. Tartaglia kirjoittaa tämän nimellä Sitten hän tarkistaa, että se on jaollinen seitsemällä loppuosa 0. Tulos läpäisi siis testin [9] . ${\begin{array}{c|c}4&4\\\hline 6&0\end{array}}.$ $4\cdot 6+4$

Juurien erottaminen

Samanlaista menetelmää käytettiin juurien poistamiseen . Aivan kuten jaossa, vastaus oli numeroina.

Neliöjuurien poimimiseksi jokaisessa vaiheessa jo saadun osittaisen vastauksen neliö vähennettiin luvusta. Tätä varten käytettiin kaavaa . Nimittäin, jos jossain vaiheessa osittaiseen vastaukseen (eli uuteen osavastaukseen ) määrätään luku , meidän on vähennettävä alkuperäisestä numerosta . Mutta vähennimme jo edellisessä vaiheessa. Joten meidän on vähennettävä . Tätä varten keittiömenetelmässä numero kirjoitettiin alle, kuva kirjoitettiin oikealle ja sitten osatulo vähennettiin, kuten tavallisessa menetelmässä [11] . ${\näyttötyyli (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$ $a$ $b$ $10a+b$ ${\näyttötyyli (10a+b)^{2}}$ $(10a)^{2}$ ${\näyttötyyli (20a+b)b}$ $20a+b$ $b$

Korkeamman asteen juuria poimittaessa käytettiin Newtonin binomialia , joka tunnettiin jo ennen Newtonia [12] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Ensimmäinen kirja // General trattato di numeri, et misure. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. Matematiikan historia . – John Wiley & Sons, 25.1.2011. – 680 s.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Pure Mathematics // Universumin tiede-historia / Francis Rolt-Wheeler (toimitustoimittaja). New York: Current Literature Pub. Co.. - Voi. VIII. — 354 s. - s. 48-52. Arkistoitu 19. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. Aritmeettisen jaon menetelmän kiinalaisesta alkuperästä (englanniksi) // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Voi. 3 , iss. 1 . - s. 66-69 . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2019.
↑ 1 2 3 4 5 Tietosanakirja lapsille . T. 11. Matematiikka / luku. toim. M. D. Aksjonova. - M .: Avanta +, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Viihdyttävä aritmetiikka. - 8. painos - M . : Detgiz , 1954. - 100 000 kappaletta.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Osa I: Numeerinen merkintä ja aritmetiikka // Hindu Mathematics: A Source Book . - 1962. - S. 150.
↑ Filippo Calandri. Aritmetica (italia) / Lorenzo Morgiani ja Johann Petri. – 1491.
↑ Florian Cajori. Matemaattisten merkintöjen historia . — Courier Corporation, 26.9.2013. - S. 260-261. — 865 s.
↑ Nicolo Tartaglia . Toinen kirja // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
↑ Graham Flegg. Numerot: niiden historia ja merkitys . — Courier Corporation, 13.5.2013. - S. 133. - 307 s.
↑ David E. Smith. Matematiikan historia . — Courier Corporation, 1958-06-01. - S. 148. - 739 s.