Käänteinen muunnosmenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Käänteismuunnosmenetelmä ( N. V. Smirnovin muunnos ) on menetelmä, jolla generoidaan satunnaismuuttujia tietyllä jakautumisfunktiolla muokkaamalla tasaisesti jakautuneiden lukujen generaattorin toimintaa.

Algoritmin kuvaus

Antaa olla mielivaltainen jakelufunktio . Osoitetaan, kuinka vakion jatkuvan tasajakauman näytegeneraattorilla saadaan näyte jakautumisfunktion antamasta jakaumasta . $F(x)$ $F(x)$

Tiukasti kasvava jakelufunktio

Jos funktio on tiukasti kasvava koko määritelmäalueen yli , se on bijektiivinen ja siksi sillä on käänteisfunktio . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Olkoon näyte vakiosta jatkuvasta tasajakaumasta. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Sitten , jossa , on näyte meitä kiinnostavasta jakaumasta. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Esimerkki

Olkoon vaadittava otos generoiminen eksponentiaalisesta jakaumasta parametrilla . Tämän jakauman funktio on tiukasti kasvava, ja sen käänteisfunktio on muotoa . Siten, jos on näyte standardista jatkuvasta tasajakaumasta, sitten , Missä $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\ldots,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n

on haluttu näyte eksponentiaalisesta jakaumasta.

Ei-laskeva jakelufunktio

Jos funktio ei vain pienene, sen käänteisfunktiota ei ehkä ole olemassa. Tässä tapauksessa on tarpeen muuttaa yllä olevaa algoritmia . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Olkoon näyte vakiosta jatkuvasta tasajakaumasta. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Sitten , jossa , on näyte meitä kiinnostavasta jakaumasta. Se, että tarkka alaraja on yhtä suuri kuin minimi, täyttyy oikeanpuoleisen jakaumafunktion jatkuvuudesta, mikä tarkoittaa, että täsmällinen alaraja saavutetaan. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots ,n$

Muistiinpanot

Jos kasvaa tiukasti, niin . Näin ollen mielivaltaisen jakaumafunktion modifioitu algoritmi sisältää erikseen analysoidun tapauksen tiukasti kasvavasta jakaumafunktiosta. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\))$
Näennäisestä universaalisuudesta huolimatta tällä algoritmilla on vakavia käytännön rajoituksia. Vaikka jakaumafunktio on tiukasti kasvava, sen käänteistä ei aina ole helppoa laskea, varsinkin jos sitä ei anneta alkeisfunktiona , kuten esimerkiksi normaalijakauman tapauksessa . Yleisen jakaumafunktion tapauksessa on useimmiten tarpeen löytää tarkka alaraja numeerisesti , mikä voi olla hyvin aikaa vievää.

Matemaattinen perustelu

Anna , se on . Tarkastellaan satunnaismuuttujan jakaumafunktiota . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Eli sillä on jakelufunktio . $X$ $F(x)$

Katso myös

Kirjallisuus

Vadzinsky R.N. Todennäköisyysjakaumien käsikirja. - Pietari: Nauka, 2001, 295 s.