Haken-jakotukki on kompakti P 2 -reducible 3-jakotukki , joka on riittävän suuri , mikä tarkoittaa, että se sisältää oikein sisäkkäisen kaksipuolisen kokoonpuristumattoman pinnan . Joskus huomioidaan vain suuntautuvat Haken-jakoputket, jolloin Haken-jakotukit ovat kompakteja suuntautuvia, pelkistymättömiä 3-jakotukia, jotka sisältävät suuntautuvia kokoonpuristumattomia pintoja.
3-jakosarjaa, jota kattaa rajallinen määrä Haken-jakoja, kutsutaan virtuaaliseksi Haken-jakosarjaksi . Hakenin virtualiteettioletus väittää, että mikä tahansa kompakti redusoitumaton 3-monisto, jossa on äärellinen perusryhmä, on virtuaalinen Haken-varianti. Tämän hypoteesin todisti Ian Agol.
Haken-jakoputket ehdotti Wolfgang Haken [1] . Haken [2] osoitti, että Haken-jakoputkilla on hierarkia , jossa ne voidaan jakaa 3-palloon kokoonpuristumattomia pintoja pitkin. Haken osoitti myös, että kokoonpuristumattoman pinnan löytämiseksi on olemassa äärellinen menettely, jos 3-jakoputkessa sellainen on. Jaco ja Ortel [3] esittelivät algoritmin sen määrittämiseksi, onko 3-monijako Haken-monisto.
Normaalit pinnat ovat kaikkialla Haken-monistojen teoriassa, ja niiden yksinkertainen ja jäykkä rakenne johtaa luonnollisesti algoritmeihin.
Käsittelemme vain suuntautuvien Haken-monitoreiden tapausta keskustelun yksinkertaistamiseksi. Suuntautuvan pinnan säännöllinen naapuri suuntautuvassa 3-jakotukkissa on vain " paksutettu " versio pinnasta, eli triviaali I -sheaf . Siten säännöllinen naapurusto on 3-ulotteinen osamonisto, jonka raja sisältää kaksi kopiota pinnasta.
Suuntautuva Haken-jakotukki M sisältää määritelmän mukaan suuntautuvan kokoonpuristumattoman pinnan S. Otetaan pinnan S säännöllinen naapuri ja poista sen sisäpuoli M :stä , saadaan jakotukki M' . Pohjimmiltaan leikataan M pitkin pintaa S . (Tämä on samanlainen, mitoiltaan yksi pienempi, pinnan leikkaamiseen ympyrää tai kaaria pitkin.) On olemassa lause, jonka mukaan jokaisella suuntautuvalla kompaktilla jakoputkella, jonka rajalla on komponentti, joka ei ole pallo, on ääretön ensimmäinen homologiaryhmä, joka tarkoittaa, että siinä on oikein sisäkkäinen 2-puolinen erottamaton kokoonpuristumaton pinta, ja siksi se on myös Haken-jakoputki. Siten voimme valita toisen kokoonpuristumattoman pinnan M': ssä ja leikata sitä pitkin. Jos tämä leikkaussarja lopulta johtaa monistoon, jonka osat (komponentit) ovat yksinkertaisesti 3-palloa, kutsumme tätä sarjaa hierarkiaksi.
Hierarkia mahdollistaa jonkinlaisten Haken-monilauseiden todistamisen induktiolla. Ensin todistetaan 3-pallon lause. Sitten todistetaan, että jos lause pitää paikkansa Haken-sarjan leikkaamisella saaduille osille, niin se pätee myös itse Haken-jakosarjalle. Tärkeintä tässä on, että leikkaus on erittäin "hyvää" pintaa pitkin eli kokoonpuristumatonta. Tämä tekee induktionäytöstä äänen monissa tapauksissa.
Haken hahmotteli todisteen algoritmista, jolla tarkistetaan, ovatko kaksi Haken-lajiketta homeomorfisia. Hänen todistusluonnoksensa täyttyivät Waldhausenin, Johansonin, Hemionin, Matveevin ja muiden itsenäisistä ponnisteluista. Siitä lähtien on ollut algoritmi sen tarkistamiseksi, onko 3-jakosarja Haken-jakosarja, ja 3-jakotukien tunnistamisen pääongelmaa voidaan pitää ratkaistuna Haken-jakosarjassa.
Waldhausen [4] osoitti, että suljetut Haken-sarjat ovat topologisesti jäykkiä – karkeasti sanottuna mikä tahansa Haken-jakojen homotopiaekvivalenssi on homotoopiaa homeomorfismille (rajan tapauksessa edellytetään reunarakenteen ehtoa). Siten 3-jakosarjat määräytyvät täysin niiden perusryhmän mukaan. Lisäksi Waldhausen osoitti, että Haken-lajikkeiden perusryhmissä on ratkaistava sanatehtävä. Sama pätee virtuaalisiin Hakenian monisteisiin.
Hierarkialla on ratkaiseva rooli William Thurstonin Hakenin monistojen hyperbolisaatiolauseessa , joka on osa hänen vallankumouksellista 3-monistojen geometrisointiohjelmaa.
Johanson [5] osoitti, että atoroidisilla ei- renkaisilla raja-irreducioitumattomilla Hakenin 3-monijoukoilla on äärelliset kartoitusluokkaryhmät . Tämä tulos voidaan saada yhdistämällä Mostovin jäykkyys Thurstonin geometrisointilauseeseen.
Huomaa, että jotkut esimerkkiperheet sisältyvät muihin.