Bernoullin polynomit

Bernoulli-polynomit - polynomien sarja , joka syntyy tutkittaessa monia erikoisfunktioita , erityisesti Riemannin ζ-funktiota ja Hurwitzin ζ-funktiota ; Appel-sekvenssin erikoistapaus . Toisin kuin ortogonaaliset polynomit , Bernoullin polynomit ovat huomionarvoisia siinä mielessä, että välissä olevien juurien määrä ei kasva polynomin asteen mukaan. Bernoullin polynomit lähestyvät trigonometrisiä funktioita rajattomasti asteen lisäyksellä . $\ [0,1]$

Nimetty Jacob Bernoullin mukaan .

Määritelmät

Bernoullin polynomit voidaan määritellä eri tavoin mukavuudesta riippuen. $\ B_{n}(x)$

Selkeä tehtävä:

{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k))

,

missä ovat binomikertoimet , ovatko Bernoulli-luvut tai: $C_{n}^{k}$ ${\näyttötyyli \ B_{k))$

B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

Bernoullin polynomien generointifunktio on:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

Bernoullin polynomit voidaan esittää differentiaalioperaattorilla:

B_{n}(x)={D \overe^{D}-1}x^{n}

, missä on muodollinen erotusoperaattori .

D

Ensimmäiset Bernoullin polynomit ovat:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac {1}{42}}.

Ominaisuudet

Bernoullin polynomien alkuarvot kohdassa ovat yhtä suuret kuin vastaavat Bernoulli-luvut : $\x=0$

{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n))

.

Generoivan funktion derivaatta:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

Vasen puoli eroaa generoivasta funktiosta vain kertoimella , joten: $\t$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\sum _{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Vertaamalla kertoimia samoilla tehoilla : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

missä:

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

(Tämän ominaisuuden täyttäviä funktioita kutsutaan Appel-sekvenssiksi ).

Viimeisestä yhtälöstä seuraa Bernoullin polynomien integrointisääntö:

\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt

.

Tasapainoominaisuus on myös hyödyllinen:

\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0

(at )

n>0

Argumentin kertolaskulause: jos on mielivaltainen luonnollinen luku , niin: $m$

\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1) ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m - 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

Rakennetut laajennukset sisältävät argumentin kertolaskulauseen:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)) \oikea)

.

Symmetria:

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Linkit

Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun, toim. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs ja Mathematical Tables , (1972) Dover, New York.