Aksioomajärjestelmän malli
Aksioomajärjestelmämalli on mikä tahansa matemaattinen objekti , joka vastaa tiettyä aksioomajärjestelmää . Aksioomajärjestelmän totuus voidaan todistaa vain rakentamalla malli toisen aksioomijärjestelmän puitteissa, jota pidetään "tosi". Lisäksi mallin avulla voit havainnollistaa visuaalisesti joitain tämän aksiomaattisen teorian ominaisuuksia .
Aksiomaattisista teorioista
Aksiomaattinen teoria rakennetaan seuraavasti: esitellään useita perusobjekteja ( planimetriassa nämä ovat piste , suora , taso , "kuuluu", "on välissä" ja liike ). Nämä objektit eivät saa määritelmiä , mutta oletetaan joukko aksioomia , jotka selittävät näiden objektien ominaisuuksia.
Aksiomaattinen teoria ei kerro yksiselitteisesti, onko pisteitä, suoria ja tasoja olemassa. Siksi kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:
- Aksioomijärjestelmästä johdetaan kaksi vastakkaista väitettä. Tällaista järjestelmää kutsutaan epäjohdonmukaiseksi - tämä tarkoittaa, että pisteitä, suoria ja tasoja ei ole, mikä tarkoittaa, että planimetriaa ei myöskään ole olemassa.
- Jotain matemaattista konstruktiota rakennetaan (esimerkiksi aritmetiikkaan perustuen ), jossa määritellään "pisteet", "viivat" ja "taso". Tämä on planimetriamalli. Mallin rakenne vahvistaa, että aksioomijärjestelmä on johdonmukainen.
(todella toinen pätee planimetriaan, katso alla.)
Esimerkkejä
Formaalisen logiikan malli Boolen algebran puitteissa
- "Muuttujat" ovat Boolen muuttujia joukosta {0,1}.
- Merkit ja ovat vastaavia Boolen algebran operaatioita.
Korvaamalla kaikki mahdolliset A, B, C aksioomeihin varmistamme, että kaikki aksioomat pätevät tässä mallissa. Modus ponensin totuus testataan samalla tavalla .
Planimetrian malli aritmetiikan puitteissa
"Piste" on reaalilukupari .
"Line" - kaikki pisteet, joille , missä ja eivät ole yhtä suuria kuin 0 samanaikaisesti.
"Taso" - kaikki mahdolliset reaalilukuparit .
Lobatševskin geometriamalli planimetrian kannalta
Lobatševskin geometrian kiinnostavin malli on Poincarén malli. "Taso" on ympyrän sisäosa , "piste" on piste ja "suora" on suora viiva tai kaari, joka on kohtisuorassa ympyrään nähden. Kulmia pidetään kuten Eukleideen geometriassa.
Mallin fyysinen merkitys on seuraava. Anna valon nopeuden pyöreässä "maailmassa" muuttua c :stä keskellä nollaan reunoilla lain mukaan (mikä tarkoittaa, että taitekerroin on 1 keskellä ja reunoilla). Silloin valo liikkuu kaaria pitkin kohtisuoraan rajaan nähden, mutta ei saavuta rajaa rajallisessa ajassa. Asukkaille tämä "maailma" näyttää loputtomalta, ja he ottavat Lobatševskin geometrian uskoon.
