Suurin yksikköhalkaisijan monikulmio on monikulmio , jossa on n sivua (tietylle luvulle n ), jonka halkaisija on yksi (eli mitkä tahansa kaksi sen pistettä ovat enintään yhden etäisyyden päässä toisistaan) ja jolla on suurin alue muiden n - kulmien joukossa , joiden halkaisija on yksi . Ratkaisu (ei yksiselitteinen) arvolle n = 4 on neliö , parittoman n :n ratkaisu on säännöllinen monikulmio , kun taas jäljellä olevan parillisen n säännöllinen monikulmio ei ole suurin.
Mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala ( n = 4) lasketaan kaavalla S = pq sin( θ )/2, jossa p ja q ovat nelikulmion lävistäjät ja θ on lävistäjien välinen kulma. Jos monikulmion halkaisija on enintään yksi, sekä p :n että q :n tulee olla enintään 1. Nelikulmion pinta-ala on siis maksimi, kun kaikki kolme tekijää saavuttavat suurimman mahdollisen arvonsa, eli p = q = 1 ja sin( θ ) = 1. Ehto p = q tarkoittaa, että nelikulmio on tasadiagonaalinen , ja ehto sin( θ ) = 1 tarkoittaa, että se on ortodiagonaalinen (sen diagonaalit ovat kohtisuorassa). Näiden nelikulmioiden joukossa on nelikulmio , jonka yksikköpituiset lävistäjät ja pinta-ala ½, mutta samanaikaisesti on äärettömän monia muita tasa- ja ortodiagonaalisia nelikulmioita, joiden diagonaalin pituus on 1, joilla kaikilla on sama pinta-ala kuin neliön. Ratkaisu ei siis ole ainutlaatuinen [1] .
Parittomille n:n arvoille Karl Reinhardt osoitti, että säännöllisen monikulmion pinta-ala on suurin kaikista yksikköhalkaisijan polygoneista [2] .
Tapauksessa n = 6 optimaalinen monikulmio on yksilöllinen, mutta se ei ole säännöllinen. Ronald Graham julkaisi ratkaisun tähän tapaukseen vuonna 1975 vastauksena Hanfried Lenzin vuonna 1956 esittämään kysymykseen 3] . Ratkaisu on epäsäännöllinen tasaläpimittainen viisikulmio, jonka yhdelle sivulle on kiinnitetty kolmio, ja etäisyys tämän kolmion kärjestä viisikulmion vastakkaiseen kärkeen on yhtä suuri kuin viisikulmion lävistäjien pituus [4] . Tämän luvun pinta-ala on 0,674981… [5] , ja tämä luku täyttää yhtälön:
4096x10 + 8192x9 - 3008x8 - 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 - 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 - 78488x + 11993 _ = _ 0 _._ _ _ _Graham arveli, että yleisessä tapauksessa jopa n :lle ratkaisu muodostetaan samalla tavalla säännöllisistä ( n − 1)-kulmioista (yksikkölävistäjällä) lisäämällä tasakylkinen kolmio yhdelle sivuista, jonka etäisyys jonka kärki vastakkaiseen kärkeen on ( n − 1) -gon on yhtä suuri kuin yksi. Tapauksessa n = 8 tämä varmistettiin vuonna 2002 tietokoneella [6] . Grahamin todistus kuusikulmion optimaalisuudesta ja tietokoneen testi tapaukselle n = 8 käyttivät luetteloa kaikista mahdollisista jäljistä , joissa oli n kärkeä ja suoraa reunaa.
Täydellinen todiste Grahamin oletuksesta kaikille n:n parillisille arvoille annettiin vuonna 2007 [7] .