Loyasevichin epätasa-arvo

Lojasiewiczin epäyhtälö on puolalaisen matemaatikon Stanisław Lojasiewiczin ( puola: Stanisław Łojasiewicz ) laatima epäyhtälö, joka antaa ylärajan etäisyydelle mielivaltaisen kompaktin joukon pisteestä monien muuttujien todellisen analyyttisen funktion nollatasojoukkoon. . Tämä epäyhtälö on löytänyt sovelluksia matematiikan eri aloilla, mukaan lukien todellinen algebrallinen geometria, analyysi ja differentiaaliyhtälöiden teoria [1] [2] .

Sanamuoto

Olkoon funktio todellinen analyyttinen ei-tyhjällä avoimella joukolla ja olkoon funktion nollien joukko . Jos joukko on ei -tyhjä, niin mille tahansa ei-tyhjälle kompaktille joukolle on olemassa vakioita ja sellaisia, että epäyhtälö $f:U\to \mathbb{R}$ $U\alajoukko \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ $f$ $Z$ $K\alajoukko U$ $\alpha \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

joiden määrä voi olla melko suuri. $\alpha$

Lisäksi mille tahansa pisteelle on olemassa riittävän pieni sen naapuruus ja sellaiset vakiot ja , että toinen Lojasevitšin epäyhtälö pätee ː $p\in U$ $W\alajoukko U$ $0<\beta <1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

Toisesta epäyhtälöstä seuraa ilmeisesti, että todellisen analyyttisen funktion jokaiselle kriittiselle pisteelle on olemassa sellainen naapuruus, että funktio saa saman arvon kaikissa kriittisissä pisteissä tässä ympäristössä.

Kirjallisuus

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Lojasiewicz epäyhtälöt ja sovellukset, arXiv:1402.5087 Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
Malgrange B. Ideaalit differentioituvista funktioista. - M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets , Publications Mathématiques de l'IHÉS (nro 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Arkistoitu 8. elokuuta 2014 Wayback Machinessa
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A globaali Łojasiewiczin epätasa-arvo algebrallisille lajikkeille , Transactions of the American Mathematical Society , osa 329 (2 ) : 813-818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org . /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Arkistoitu 1. marraskuuta 2015 Wayback Machinessa

Loyasevichin epätasa-arvo

Sanamuoto

Kirjallisuus

Muistiinpanot