Sumeaa settiä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10.9.2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Sumea joukko (joskus sumea [1] , sumea [ 2] , pörröinen [3] ) on käsite, jonka Lotfi Zadeh esitteli vuonna 1965 artikkelissa "Fuzzy Sets" lehdessä Information and Control [4] , jossa hän laajensi klassista joukon käsitettä olettaen, että joukon tunnusfunktio (Zade kutsuu sitä sumean joukon jäsenyysfunktioksi ) voi ottaa mitä tahansa arvoa intervallista , ei vain arvoja tai . Se on sumean logiikan peruskäsite . $[0, 1]$ $0$ $yksi$

Vanhentunut nimi: epämääräinen joukko [5] [6] ,

Määritelmä

Sumea joukko on joukko järjestettyjä pareja, jotka muodostuvat yleisjoukon elementeistä ja vastaavista jäsenyysasteista : $A$ $x$ $X$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}

lisäksi , on jäsenyysfunktio (yleistys tavallisten crisp-joukkojen ominaisfunktion käsitteestä ), joka osoittaa, missä määrin (mitta) elementti kuuluu sumeaan joukkoon . Funktio ottaa arvoja jossain lineaarisesti järjestetyssä joukossa . Sarjaa kutsutaan lisävarustesarjaksi , usein segmentiksi valitaan segmentti . Jos (eli se koostuu vain kahdesta elementistä), niin sumeaa joukkoa voidaan pitää tavallisena terävänä sarjana. $\mu _{A}(x)$ $x$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Perusmääritelmät

Anna sumea setti yleissarjan elementeillä ja lisävarustesarjalla . Sitten: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

sumean joukon kantaja ( tuki ) on joukko ; $\operaattorin nimi {supp} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
arvoa kutsutaan sumean joukon korkeudeksi . Sumea joukko on normaali , jos sen korkeus on . Jos korkeus on ehdottomasti pienempi kuin , sumeaa joukkoa kutsutaan subnormaaliksi ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $yksi\$ $yksi\$
sumea joukko on tyhjä, jos . Ei-tyhjä alinormaali sumea joukko voidaan normalisoida kaavalla $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
sumea joukko on unimodaalinen , jos vain yhdellä ; $\mu _{A}(x)=1\$ $x\$ $X\$
alkioita , joita kutsutaan sumean joukon siirtymäpisteiksi . $x\in X$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $A\$

Sumeiden joukkojen vertailu

Olkoon ja olla sumeita joukkoja, jotka on määritelty yleisjoukolle . $A$ $B$ $X$

$A$ sisältyy ryhmään , jos jokin sen joukon jäsenyysfunktion elementti saa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin joukon jäsenyysfunktio : $B$ $X$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Jos ehto ei täyty kaikille , puhumme sumean joukon sisällyttämisasteesta , joka määritellään seuraavasti: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\in X$ $A$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , missä . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))$
Kahden joukon sanotaan olevan yhtä suuri , jos ne sisältyvät toisiinsa: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Jos jäsenyyden arvot toimivat ja ovat lähes yhtä suuret keskenään, puhutaan sumeiden joukkojen yhtäläisyysasteesta ja esimerkiksi muodossa $\mu _{A}(x)$ $\mu _{B}(x)$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , missä . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Sumeiden joukkojen ominaisuudet

$\alpha$ -slice of fuzzy set , merkitty nimellä , on seuraava selkeä joukko: $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

eli seuraavan ominaisfunktion (jäsenfunktion) määrittelemä joukko:

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\right.

Sumean joukon -viipaleelle on totta seuraava implikaatio : $\alpha$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

Sumea joukko on kupera , jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

mille tahansa ja . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Sumea joukko on kovera , jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

mille tahansa ja . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Toiminnot sumeilla joukoilla

Monilla lisävarusteilla $M=[0,1]\$

Sumeiden joukkojen leikkauspiste on sumea osajoukko, jonka jäsenyysfunktio on jäsenfunktioiden vähimmäismäärä ja : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Sumeiden joukkojen tulo on sumea osajoukko, jossa on jäsenyysfunktio: $A$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
Sumeiden joukkojen liitto on sumea osajoukko, jonka jäsenyysfunktio on jäsenfunktioiden maksimi ja : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Sumeiden joukkojen summa on sumea osajoukko, jossa on jäsenyysfunktio: $A$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$ .
Joukon negaatio on joukko , jossa on jäsenyysfunktio: $A\$ $\overline A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ kaikille . $x\in X$

Vaihtoehtoinen esitys sumeiden joukkojen operaatioista

Crossing

Yleensä sumeiden joukkojen leikkaustoiminto määritellään seuraavasti:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

jossa funktio on ns. T-normi . Alla on erityisiä esimerkkejä T-normin täytäntöönpanosta : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , varten $p\geqslant 1$

Konsolidointi

Yleisessä tapauksessa sumeiden joukkojen yhdistäminen määritellään seuraavasti:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

jossa funktio on T-konormi . Alla on erityisiä esimerkkejä S-normin toteutuksesta : $S$

$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \over p}\}$ , varten $p\geqslant 1$

Yhteys todennäköisyysteoriaan

Sumeiden joukkojen teoria on tietyssä mielessä pelkistetty satunnaisjoukkojen teoriaksi ja siten todennäköisyysteoriaksi . Pääajatuksena on, että jäsenyysfunktion arvoa voidaan ajatella todennäköisyydellä, että jokin alkio kattaa jonkin satunnaisjoukon . $\mu _{A}(x)\$ $x\$ $B\$

Käytännössä sumean joukkoteorian laitteistoa käytetään kuitenkin yleensä itsenäisesti toimien kilpailijana todennäköisyysteorian ja sovelletun tilaston laitteistolle . Esimerkiksi säätöteoriassa on suunta, jossa käytetään sumeita joukkoja (sumeita ohjaimia) todennäköisyysteorian menetelmien sijaan asiantuntijaohjaimien syntetisoimiseksi .

Esimerkkejä

Päästää:

paljon $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
monia lisävarusteita $M=[0,1]$
$A$ ja ovat kaksi sumeaa osajoukkoa $B$ $X$
- $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

Pääoperaatioiden tulokset:

Risteys: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
yhdistys: ${A\kuppi B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Muistiinpanot

↑ Georgian SSR:n tiedeakatemian tiedote . - Akatemia, 1974. - S. 157. - 786 s. Arkistoitu 4. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Värikuva maailmasta kielellä // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Sarjat: Filologia, historia, itämaisuus. - 2010. - Ongelma. 3 . — ISSN 2308-8753 . Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2017.
↑ Kemia ja elämä, XXI vuosisata . - Yritys "Chemistry and Life", 2008. - S. 37. - 472 s. Arkistoitu 4. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Lotfi A. Zadeh Uuden lähestymistavan perusteet monimutkaisten järjestelmien ja päätöksentekoprosessien analysointiin (englannista kääntäneet V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Knowledge, 1974. - s. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Sumea mallinnus MATLAB- ja fuzzyTECH-ympäristössä. Pietari: BKhV�Peterbur, 2005. 736 s.: ill. ISBN 5.94157.087.2
↑ A.M. Shirokov. Hankintateorian perusteet . - Tiede ja tekniikka, 1987. - S. 66. - 190 s. Arkistoitu 18. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Zadeh L. Kielellisen muuttujan käsite ja sen soveltaminen likimääräisten päätösten tekemiseen. - M .: Mir, 1976. - 166 s.
Orlov AI Optimointiongelmatja sumeat muuttujat . - M .: Tieto, 1980. - 64 s.
Kofman A. Johdatus sumeiden joukkojen teoriaan. - M . : Radio ja viestintä, 1982. - 432 s.
Sumeat joukot ja mahdollisuusteoria: Viimeaikaiset edistysaskeleet / R. R. Yager. - M . : Radio ja viestintä, 1986.
Zadeh LA Fuzzy-sarjat // Tiedot ja ohjaus. - 1965. - T. 8 , nro 3 . - s. 338-353.
Orlovsky SA Päätöksenteko-ongelmia sumealla alkutiedolla. - M .: Nauka, 1981. - 208 s. - 7600 kappaletta.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. System fuzzy interval mathematics. — Monografia (tieteellinen painos). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 s. [yksi]