Normalisointikerroin

Normalisointikerroin on kerroin, jolla matemaattinen lauseke kerrotaan niin, että sen jälkeen mikä tahansa merkittävä parametri on yhtä suuri kuin 1. Normalisointitekijän valintaa kutsutaan normalisoimiseksi ( normalisoinniksi ).

Useimmiten tarkoitetaan tilannetta, jossa ei-negatiivinen funktio tai lukusarjan kaikki jäsenet kerrotaan normalisointikertoimella siten, että funktion määrittelyalueen yli oleva integraali tai sarjan termien summa on yhtä suuri kuin yksi. Tällöin tekijä on positiivinen luku tai funktion argumenteista riippumaton algebrallinen lauseke. Samanlaista normalisointimenettelyä käytetään todennäköisyysteoriassa ja fysiikan eri aloilla ( tilastollinen fysiikka , kvanttimekaniikka , spektriteoria ja muut). Normalisoinnin jälkeen funktiota voidaan pitää jakautumistiheydenä ja sarjaa jakauman sarjana .

Käsitteitä "normalisointikerroin", "normalisointi" käytetään kuitenkin myös muissa tilastoihin liittymättömissä tilanteissa. Tässä tapauksessa normalisoinnin tavoitteena voi olla saada data johonkin kätevämpään.

Normalisointikerroin tilastoissa

Tilastoihin suoraan tai välillisesti liittyvät tehtävät ovat normalisointitekijöiden pääasiallinen sovellusalue. Yleinen merkitys on asettaa vaatimus, että kaikkien mahdollisten tapahtumien kokonaistodennäköisyys on yhtä suuri [1] .

Normalisointimenettely

Jos on ei-negatiivinen funktio, joka on määritetty välille , niin normalisointikerroin on $\phi(x)$ ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{2))$ $A$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\oikea]^{-1}

tässä tapauksessa toiminto normalisoituu. Normalisointi suoritetaan samalla tavalla moniulotteisessa tapauksessa. $f(x)=A\cdot \phi (x)$

Jos ( ) ovat ei-negatiivisen numeerisen sarjan jäseniä, normalisointitekijä löytyy seuraavasti $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $A$

{\displaystyle A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1))

tässä tapauksessa sekvenssillä on jakaumasarjan merkitys, eli lista diskreetin arvon toteutumisen todennäköisyyksistä . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

Normalisoinnin tarve

Merkittävimmät ja usein esiintyvät jakaumat on pääsääntöisesti tallennettu jo normalisoinnilla, eli lisätoimenpiteitä ei tarvita. Esimerkiksi suuren normaalijakaumalla (keskihajonnan kanssa ) on analyyttinen muoto $x$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ sqrt {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\oikea)

Tässä oletetaan määritelmän alue ja ehto täyttyy. $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1$

Harvemmissa tilanteissa voi kuitenkin olla tarpeen valita normalisointitekijä. Sanotaan, että joskus on tarpeen kaventaa määritelmän aluetta (esimerkiksi yllä olevassa esimerkissä harkitse verkkotunnusta ei , vaan ; silloin siitä tulee ). Ei ole harvinaista, että jakauma määritellään "vakiotekijään asti", eli muodossa " [lauseke]", ja oletetaan, että tämä vakiotekijä löydetään normalisoimalla. $x$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty \ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ ${\näyttötyyli \phi (x)\sim }$

Esimerkkejä fysiikan alalta

Esimerkki 1 . Maxwell-jakauma ihanteellisen kaasun molekyylien nopeusmoduuleille on muotoa ( - Boltzmannin vakio, - lämpötila, - yhden molekyylin massa). Normalisoinnin varmistamiseksi normalisointikertoimen on oltava yhtä suuri kuin . $\phi (v)\sim v^{2}\cdot \exp(-mv^{2}/2kT)$ $k$ $T$ $m$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $A$ $4\pi (m/2\pi kT)^{3/2}$

Esimerkki 2 . Hiukkasen tila kvanttimekaniikassa ilmaistaan aaltofunktiolla . Tämän funktion moduulin neliöllä on todennäköisyystiheyden merkitys hiukkasen havaitsemiseksi pisteessä ( , , ). Tässä tapauksessa tulee täyttyä relaatio , jossa integrointi suoritetaan koko tilavuudelle, jossa hiukkanen voi olla [2] . $\psi (x,\,y,\,z)$ $x$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

Esimerkki 3 . Jatkuva sähkömagneettinen tai akustinen spektri voidaan antaa funktiona (mitta W / m 2 / Hz ), - taajuus, - kokonaisintensiteetti W / m 2 . Tässä tapauksessa spektrin taajuusjakauman tiheydellä on merkitystä, ja yhtäläisyyden on oltava . Jos spektri on diskreetti, se voidaan määrittää taajuus-intensiteetti-parien joukolla ( , ). Tässä tapauksessa ja taajuusjakaumasarja koostuu termeistä , joissa . $I\cdot g(\nu )$ $\nu$ $minä$ $g(\nu )$ $\int _{0}^{+\infty }g(\nu )d\nu =1$ $\nu _{n}$ $Sisään}$ $\sum _{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ $\sum _{n}P(\nu _{n})=1$

Tilastojen ulkopuolisten tekijöiden normalisointi

Normalisointikertoimia käytetään myös silloin, kun halutaan saavuttaa, että jokin arvo (ei välttämättä tarkoita kokonaistodennäköisyyttä) on yhtä suuri kuin yksi.

Jos joudut asettamaan suunnan, se on usein kätevämpää tehdä itseisarvoisella yksikkövektorilla, eli ei käytä ( , ovat tasossa olevia ortteja ), vaan , missä on normalisointikerroin. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ ${\displaystyle A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2))$

Esimerkiksi kaavioita piirrettäessä, jos vain käyrän muoto on tärkeä, joskus arvot normalisoidaan maksimiarvolla , eli arvot kerrotaan ordinaatilla normalisointikertoimella. ; silloin suurin pystysuora arvo on 1. Suhteellisiin yksiköihin (toisella tai molemmilla akseleilla) vaihdetaan myös kertomalla jollain ominaisarvolla, esim . ; tällaista toimintaa voidaan kutsua myös normalisoinniksi, kun taas yksikkö (akselia pitkin ) vastaa ominaisarvoa. $y(x)$ ${\displaystyle y_{max))$ ${\displaystyle y_{max}^{-1))$ ${\displaystyle x_{0}^{-1))$ ${\displaystyle x/x_{0))$

Normalisointia (ja vastaavasti normalisointikertoimen valintaa) voidaan vaatia paitsi yllä mainitulle aaltofunktion fyysiselle tapaukselle, myös ominaisfunktioille laajemmassa ongelmaluokassa [3] . $\int |\psi |^{2}dV=1$

On olemassa käsite " suoran suoran normaaliyhtälö " [4] . Sen tutumpi yhtälö ( , , ovat vakioita) pelkistetään normaaliksi kertomalla normalisointikertoimella , jossa etumerkki on päinvastainen kuin . Kertomisen jälkeen ja edessä olevien lukujen neliöiden summasta tulee yksikkö. Samanlainen tilanne tapahtuu " tason normaaliyhtälön " kanssa. $Ax+By+C=0$ $A$ $B$ $C$ ${\displaystyle \pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2))$ $C$ $x$ $y$

Muistiinpanot

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto . Minsk, BSUIR (2003), katso f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Kvanttimekaniikka. Metodologinen opas kvanttifysiikan työpajaan. Pietari: ITMO (2012), katso 1.1.4. Aaltofunktioiden normalisointi .
↑ N. N. Vorobjov Sarjojen teoria. Moskova: Nauka (1979), katso Ch. 8, § 3: Normalisoidut ja ortogonaaliset funktiot .
↑ I. Maltsevskaya Normaali (normalisoitu) suoran yhtälö: kuvaus, esimerkkejä, ongelmanratkaisu , katso Zaochnik koulutuspalvelu.