Leibnizin merkintä

Leibnizin merkintätapa on matemaattinen merkintä , jonka Leibniz on kehittänyt infinitesimaalien analysointiin ja jota käytetään laajalti matemaattisessa analyysissä (yhdessä useiden muiden merkintöjen kanssa ). Pääsymbolit ovat ja edustavat äärettömän pientä inkrementtiä ja muuttujan funktiota , samoin kuin äärellisille lisäyksille ja vastaavasti [1] . $dx$ $dy$ $x$ $y$ $x$ ${\Delta }x$ ${\Delta }y$ $x$ $y$

Johdannainen suhteessa , jota myöhemmin alettiin pitää rajana : $y$ $x$

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x))

oli Leibnizin mukaan äärettömän pienen lisäyksen suhde äärettömään pieneen lisäykseen : $y$ $x$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

jossa oikea puoli on funktion derivaatan merkintä suhteessa Lagrangen merkintään . Äärettömän pieniä lisäyksiä kutsutaan differentiaaleiksi . Tähän käsitteeseen liittyy integraalin käsite , jossa äärettömän pienet lisäykset lasketaan yhteen (esimerkiksi pituuden, alueen tai tilavuuden laskemiseksi pienten kappaleiden summana). Integraalien kirjoittamiseen Leibniz ehdotti läheisesti liittyvää merkintää, joka käyttää samoja differentiaaleja. Tällä merkinnällä oli suuri merkitys Manner-Euroopan matematiikan kehityksessä. $f$ $x$

Leibnizin infinitesimaalien käsite pysyi epätarkana pitkään, mutta ajan myötä sitä täydennettiin Weierstrassin ja muiden 1800-luvun matemaatikoiden kehittämillä tiukoilla formulaatioilla. Tämän seurauksena Leibnizin murto-osaa ei pidetty yksinkertaisena jakolana, vaan se määriteltiin rajan kautta . 1900-luvulla ehdotettiin useita muita formalismeja tiukentamaan äärettömän pientä merkintää, mukaan lukien epästandardi analyysi , tangenttiavaruus , suuren "O" :n käyttö.[ määritä ] .

Matemaattisen analyysin derivaattoja ja integraaleja voidaan tarkastella modernin differentiaalimuototeorian näkökulmasta , jossa derivaatta on todellakin kahden differentiaalin suhde ja integraali käyttäytyy täsmälleen Leibnizin merkinnän mukaisesti. Tämä edellyttää kuitenkin, että derivaatta ja integraali määritellään eri mielessä, mikä heijastaa Leibnizin merkinnän johdonmukaisuutta ja laskennallista tehokkuutta.

Historia

1600-luvulla matemaatikot Newton ja Leibniz alkoivat itsenäisesti kehittää laskentaa, joka toimi äärettömän pienillä suureilla . Kun Newton työskenteli fluxioiden kanssa, Leibniz perusti lähestymistapansa summien ja erojen yleistämiseen [2] . Leibniz käytti symbolia ensimmäisenä . Tämä symboli on johdettu latinalaisesta sanasta summa ("summa"), jonka tutkija kirjoitti ſumma käyttäen pitkänomaista kirjainta s , jota käytettiin usein Saksassa tuolloin. Leibniz piti eriyttämistä summauksen käänteisenä operaationa [3] , joten Leibniz käytti symbolia - latinan sanan differentia ("ero") ensimmäistä kirjainta [2] . $\textstyle \int$ $d$

Leibniz oli nirso merkintöjen suhteen, vietti vuosia kokeiluihin, säätämiseen, karsimiseen ja sopimiseen muiden matemaatikoiden kanssa [4] . Muuttujan differentiaalin merkintätapa, jota hän käytti, muuttui vähitellen , lopulliseen merkintään [5] . Hänen integraalimerkkinsä ilmestyi ensimmäisen kerran artikkelissa "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Piilotettu geometria ja jakamattoman ja äärettömän analyysi), joka julkaistiin Acta Eruditorum -lehdessä kesäkuussa 1686 [6] [7] , mutta käyttänyt yksityisissä käsikirjoituksissa ainakin vuodesta 1675 [8] [9] [10] Leibniz käytti nimitystä ensimmäisen kerran artikkelissa " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", joka julkaistiin myös Acta Eruditorum -lehdessä vuonna 1684 [11] . Vaikka ilmaisu esiintyi yksityisessä käsikirjoituksessa vuodelta 1675 [12] [13] , sitä ei käytetty tässä muodossa mainituissa julkaistuissa teoksissa. Painetussa Leibniz käytti ilmaisuja erottamiseen muodossa ja [11] . $y$ $\omega$ $l$ ${\tfrac {y}{d))$ $dy$ $dx$ ${\tfrac {dy}{dx))$ $dyaddx$ $dy:dx$

Englantilaiset matemaatikot käyttivät Newtonin pistemerkintää vuoteen 1803 asti, jolloin Robert Woodhouse julkaisi kuvauksen mannertenvälisestä merkintätavasta. Myöhemmin University Analytical Society edisti Leibnizin merkinnän mukauttamista.

1800-luvun loppuun mennessä Weierstrassin seuraajat lakkasivat ottamasta Leibnizin johdannaisten ja integraalien merkintää kirjaimellisesti. Matemaatikot katsoivat, että infinitesimaalien käsite sisälsi loogisen ristiriidan. Jotkut 1800-luvun matemaatikot (Weierstrass ja muut) muotoilivat matemaattisesti tiukkoja menetelmiä derivaattojen ja integraalien käsittelemiseksi ilman infinitesimaalien käyttöä. Weierstrassin matemaattisessa formalisaatiossa käytettiin rajan käsitettä , kuten yllä on esitetty. Samaan aikaan Cauchy käytti sekä infinitesimaaleja että rajoja (katso Cours d'Analyse ). Tällä hetkellä Leibnizin merkintätapaa käytetään edelleen aktiivisesti, mutta sitä ei pidä ottaa kirjaimellisesti. Leibnizin merkintä on usein yksinkertaisempaa kuin vaihtoehtoiset merkinnät: esimerkiksi käytettäessä muuttujien erottelutekniikkaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Myös Leibnizin merkintätapa on sopusoinnussa dimensioanalyysin kanssa . Olkoon esimerkiksi siirtymä, joka mitataan metreissä, ja olkoon aika, mitattuna sekunneissa. Suureiden lisäyksillä on vastaavat mitat, eli sillä on pituus- ja aikaulottuvuus. Derivaata määrittää nopeuden mittasuhteella m/s . Samalla tavalla integraali määrittää siirtymän metreinä mitattuna. $s(t)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Leibnizin merkintä eriyttämistä varten

Olkoon riippuva muuttuja riippumattoman muuttujan funktio : . Sitten Leibnizin funktion derivaatta differentiaatiota varten voidaan kirjoittaa seuraavasti: $y$ $f$ $x$ $y=f(x)$ $f$

{\frac {dy}{dx))\quad

tai tai .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}

Leibnizin lauseke, joka on kirjoitettu muodossa , on yksi yleisesti hyväksytyistä derivaatan merkinnöistä. Vaihtoehtoja ovat Lagrangen merkintä alkuluvulla $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

ja Newtonin merkintätapa , joka edellyttää pisteen sijoittamista riippuvan muuttujan päälle (tässä tapauksessa ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\piste {y}}

Newtonin merkintää käytetään usein kirjoitettaessa derivaattoja ajan suhteen (samanlainen kuin nopeus ). Lagrangen " viiva " -merkintä on ytimekkäämpi ja mahdollistaa funktion derivaatan kirjoittamisen tietyssä kohdassa. Esimerkiksi merkintä tarkoittaa funktion ensimmäistä derivaatta pisteessä . Leibniz-nimityksellä on kuitenkin etunsa, minkä ansiosta se pysyy suosittuna monien vuosien jälkeen. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

Nykyaikaisessa tulkinnassa ilmaisua ei tulisi pitää kahden äärettömän pienen määrän suorana suhteena ja (kuten Leibniz kuvitteli), vaan yhtenä lausekkeena, joka on lyhenne sanoista uudelleenjako: ${\tfrac {dy}{dx))$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))

tässä käytetty merkki on , joka ilmaisee äärellistä eroa, eikä , joka tarkoittaa infinitesimaalia Leibnizin tulkitsemana. ${\Delta }$ $d$

Lauseke voidaan ymmärtää myös differentiaalioperaattorin (jälleen yksittäisen symbolin) toimintana muuttujalla , jota käsitellään riippumattoman muuttujan funktiona . Tämä operaattori on myös kirjoitettu kuten Euler -merkinnässä . Leibniz ei käyttänyt tätä muotoa, vaan sovelsi symbolia varsin läheisesti moderniin konseptiin. ${\tfrac {d}{dx))$ $y$ $x$ $D$ $d$

Vaikka Leibnizin merkintätapa ei tarkoita todellista jakoa, osamäärämerkintä on hyödyllinen monissa tilanteissa. Koska derivaattaoperaattori käyttäytyy monissa tapauksissa samalla tavalla kuin jakooperaatio, Leibnizin merkintätapa helpottaa joidenkin johdannaisiin liittyvien tulosten ymmärtämistä ja muistamista [14] . Eli jo aiemmin mainittiin, että suureiden dimensiot differentioinnin aikana käyttäytyvät kuten tavallisessa jaossa, toinen havainnollistava esimerkki on kompleksisen funktion differentiaatiosääntö , joka Leibnizin merkinnöissä on ilmeinen ja saa muodon, joka on lähellä tautologiaa:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

Leibnizin notaatiolla on niin pitkä käyttöikä, koska se saavuttaa analyysin geometristen ja mekaanisten sovellusten ytimen [15] .

Leibnizin merkintä korkeamman asteen johdannaisille

Jos , niin Leibnizin merkinnän funktion -. derivaatta saadaan lausekkeella [16] $y=f(x)$ $n$ $f$

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n))))

Tämä toisen derivaatan merkintä saadaan käyttämällä sitä operaattorina seuraavasti [16] : ${\tfrac {d}{dx))$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \oikea)

Kolmas derivaatta, joka voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

saa osoitteesta:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\oikea)\oikea)

Samalla tavalla ohjeista voidaan saada korkeamman asteen johdannaisia. Vaikka huolellisesti valituilla määritelmillä lauseke voidaan tulkita kahden differentiaalin osamääränä , tätä ei pitäisi tehdä korkeamman asteen differentiaalimuodoille [17] . ${\tfrac {dy}{dx))$

Leibniz ei käyttänyt tätä nimitystä. Painetuissa teoksissa hän ei käyttänyt monivaiheista merkintää eikä numeerisia eksponentteja (vuoteen 1695 asti). Esimerkiksi kirjaamiseen Leibniz voisi käyttää tuolloin hyväksyttyä merkintää . Differentiaalin neliö, joka näkyy esimerkiksi käyrän pituuskaavassa , kirjoitettiin muodossa . Lisäksi Leibniz käytti merkintätapaansa siinä mielessä, jossa operaattoreita käytetään nyt, eli hän pystyi kirjoittamaan toisen derivaatan muodossa , ja kolmannen muodossa . Vuonna 1695 Leibniz aloitti kirjoittamisen puolesta ja puolesta ja vastaavasti, mutta Lopital käytti samaan aikaan kirjoitetussa laskentaa käsittelevässä kirjassaan Leibnizin merkinnän alkuperäistä muotoa [18] . $x^{3}$ $xxx$ $dxdx$ $d$ $ddy$ $dddy$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ $ddx$ $dddx$

Käytä erilaisissa kaavoissa

Yksi syy siihen, miksi Leibnizin merkintätapa on kestänyt niin kauan laskennassa, on se, että sen avulla on helppo muistaa erilaiset differentiointiin ja integrointiin käytetyt kaavat. Esimerkiksi kaava monimutkaisen funktion erottamiseksi . Olkoon funktio differentioituva suhteessa ja olkoon funktio differentioituva suhteessa . Funktioiden koostumus on differentioituva suhteessa ja sen derivaatta voidaan ilmaista Leibnizin notaatiolla [19] $g(x)$ $x$ $y=f(u)$ ${\näyttötyyli u=g(x)}$ $y(x)=f(g(x))$ $x$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

Kaava voidaan yleistää toimimaan useiden toisiinsa liittyvien funktioiden koostumuksen kanssa, joka on määritelty sopivalla tavalla ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

Integraalin muuttujan muutoksen kaava voidaan esittää lausekkeella [20] :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

jossa funktiota pidetään uuden muuttujan funktiona , vasemmanpuoleinen funktio ilmaistaan funktiona ja oikealla oleva funktio . $x$ $u$ $y$ $x$ $u$

Olkoon , jossa on käänteinen differentioituva funktio, niin käänteisfunktion derivaatta (jos se on olemassa) voidaan ilmaista muodossa [21] $y=f(x)$ $f$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

jossa hakasulkeet on lisätty korostamaan sitä tosiasiaa, että derivaatta ei ole osamäärä, vaan lauseke on tarkasteltava kokonaisuutena. Kuitenkin, kun ratkaistaan tietyntyyppisiä differentiaaliyhtälöitä, on sallittua toimia differentiaalien kanssa ja erikseen . Tarkastellaan yhtä yksinkertaisimmista differentiaaliyhtälöiden tyypeistä [22] ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

missä ja ovat niiden argumenttien jatkuvia funktioita. Tällaisen yhtälön ratkaisu (implisiittisesti) voidaan saada tarkastelemalla yhtälöä sen differentiaalimuodossa . $M$ $N$

M(x)\,dx+N(y)\,dy=0

Integraation jälkeen saamme

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Tätä tekniikkaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi kutsutaan muuttujien erotusmenetelmäksi .

Jokaisessa esimerkissä Leibnizin derivaatan merkintätapa ilmenee osamääränä huolimatta siitä, että nykyisessä tulkinnassa ilmaisua ei käsitellä todellisena jakona. ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$

Moderni perustelu infinitesimaalille

Edwin Hewittin ja Jerzy Losin varhaisten töiden pohjalta 1960-luvulla Robinson ehdotti matemaattista perustetta Leibnizin infinitesimaaleille, jotka olivat hyväksyttäviä nykypäivän tiukan standardien mukaan, ja kehitti näihin ajatuksiin perustuvan epästandardin analyysin . Lähestymistapa sai jonkin verran suosiota, Jerome Keisler kirjoitti sen pohjalta oppikirjan ensimmäiselle kurssille "Analyysin alku: Äärettömän pieni lähestymistapa", mutta Robinsonin menetelmiä ei käytetty laajasti.

Modernin infinitesimaalien teorian näkökulmasta infinitesimaali inkrementti on sitä vastaava inkrementti ja derivaatta on infinitesimaalien suhteen standardiosa : ${\Delta }x$ $x$ ${\Delta }y$ $y$

{\displaystyle f'(x)={\rm {st)){\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)){\Bigg )))

Sitten samastamme , , joten määritelmän mukaan on suhde . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

Samoin, vaikka useimmat matemaatikot ymmärtävät integraalin:

\int f(x)\,dx

rajana:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x

jossa on väli, joka sisältää , Leibniz näki sen summana (yhtenäinen symboli, joka on merkitty sen summaksi) äärettömän suuresta määrästä äärettömän pieniä määriä . Epästandardisen analyysin näkökulmasta on oikein pitää integraalia tällaisen äärettömän summan standardiosana. ${\Delta }x$ $x_{i}$ $f(x)dx$

Vastineeksi käsitteen tarkkuuden vuoksi on välttämätöntä laajentaa reaalilukujen joukko hyperreaalilukujen joukkoon .

Muut Leibniz-merkinnät

Leibniz kokeili monia erilaisia merkintöjä matematiikan eri alueilla. Hän koki, että hyvällä merkinnällä oli keskeinen rooli matematiikan tutkimisessa. Lopitalille vuonna 1693 lähettämässään kirjeessä hän kirjoittaa [23] :

Yksi analyysin salaisuuksista on karakterisointi eli käytettävissä olevien symbolien mestarillisen käytön taito, ja näet, sir, että pienten esteiden takana [determinanteille] Vieta ja Descartes eivät nähneet kaikkia salaisuuksia.

Hän tarkensi kriteeriään hyvästä merkinnästä ajan myötä ja ymmärsi "symboliikkaa, joka voidaan kirjoittaa merkkijonoon yksinkertaisen kirjaimen tavoin ilman, että joutuisi laajentamaan rivien leveyttä kirjoittaakseen tilavia osia sisältäviä merkkejä" merkityksen. [24] Esimerkiksi varhaisessa työssään hän käytti usein ylipalkkia ryhmitelläkseen merkkejä, mutta ehdotti myöhemmin sulkuparin käyttämistä tähän, mikä helpotti ladojien työtä, koska heidän ei enää tarvitse laajentaa rivien välistä tilaa sivu, ja sivut alkoivat näyttää houkuttelevammilta [25] .

Monet Leibnizin 200 uudesta symbolista ovat edelleen käytössä [26] . Differentiaalien ja integraalimerkin ( ) lisäksi hän otti käyttöön myös kaksoispisteen ( ) jakolaskua varten, pisteen ( ) kertolaskua varten, geometriset samankaltaisuusmerkit ( ) ja kongruenssi ( ) sekä tietueen yhtäläisyysmerkin ( ) käytön. suhteille ( Otredin merkinnän sijaan ) ja kaksoisliite determinanteille [23] . $dx$ $dy$ $\textstyle \int$ $\colon$ $\cdot$ $\sim$ $\cong$ $=$ $\colon \colon$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , s. 524.
↑ Katz, 1993 , s. 529.
↑ Mazur, 2014 , s. 166.
↑ Cajori, 1993 , s. Voi. II 203 alaviite 4.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , s. 110.
↑ Leibniz, 2005 , s. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , s. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. Calculus-symbolien varhaisimmat käyttötavat . Haettu 20. huhtikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 1. toukokuuta 2015. (määrätön)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , s. Voi. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , s. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , s. Voi. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , s. 58.
↑ Cajori, 1993 , s. Voi. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , s. 141.
↑ Swokowski, 1983 , s. 135.
↑ Cajori, 1993 , s. Voi. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , s. 176.
↑ Swokowski, 1983 , s. 257.
↑ Swokowski, 1983 , s. 369.
↑ Swokowski, 1983 , s. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , s. Voi. II 185.
↑ Cajori, 1993 , s. Voi. II 184.
↑ Mazur, 2014 , s. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , s. 167.

Kirjallisuus

Florian Cajori. Matemaattisten merkintöjen historia . - New York: Dover, 1993. - ISBN 0-486-67766-4 .
Joseph Mazur. Valaisevat symbolit / Matemaattisen merkinnän lyhyt historia ja sen piilotetut voimat. - Princeton University Press, 2014. - ISBN 978-0-691-17337-5 .
James Stewart. Calculus: Varhaiset Transsendentaalit . – 6. — Brooks/Cole , 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
Victor J. Katz Matematiikan historia / Johdanto . - Addison Wesley Longman, 1993. - ISBN 978-0-321-01618-8 .
Frank J. Swetz. Matemaattinen aarre: Leibnizin paperit laskennasta – kokonaislaskenta . - Mathematical Association of America , 2015. - (Convergence).
John Stillwell . Matematiikka ja sen historia . - Springer, 1989.
Leibniz GW Leibnizin varhaiset matemaattiset käsikirjoitukset / kääntänyt JM Child. - Dover, 2005. - S. 73–74, 80. - ISBN 978-0-486-44596-0 .
Leibniz GW Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften, . - Berliini: Akademie Verlag, 2008. - V. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. Sivut 288-295 arkistoitu 9. lokakuuta 2021 Wayback Machinessa ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29. lokakuuta 1675) 321-331 Arkistoitu 3. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa (" Methodi tangentium inversae" -331 esp. 328 Arkistoitu 3. lokakuuta 2016 Wayback Machineen ("Methodi tangentium inversae exempla", 11. marraskuuta 1675).
Jordan DW, Smith P. Matemaattiset tekniikat: Johdatus tekniikan, fysiikan ja matemaattisten tieteiden käyttöön. - Oxford University Press, 2002. - s. 58.
William Briggs, Lyle Cochran. Calculus/Varhaiset Transsendentaalit/Yksi muuttuja . - Addison-Wesley, 2010. - ISBN 978-0-321-66414-3 .
Earl W. Swokowski. Calculus analyyttisen geometrian kanssa . — Vaihtoehtoinen. — Prindle, Weber ja Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7 .