Rajoitetut epätäydelliset osamäärät

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. heinäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa todellisella luvulla sanotaan olevan rajalliset osaosamäärät , jos osittaisosamäärät eivät ota mielivaltaisen suuria arvoja , kun se laajennetaan jatkuvaksi murtoluvuksi .

Määritelmä

ketju laukaus

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_ {2}+\pisteet}}}}}

on rajannut epätäydelliset osamäärät, jos on olemassa sellainen luku , että millä tahansa . $c$ $a_{i}\leq c$ $i\geq 0$

Ominaisuudet

mikä tahansa jaksoittainen jatkuva murto -osa on rajoitettu osaosamäärä;

jos on rajannut epätäydellisiä osamäärää, niin Minkowski-funktion arvon binääriesityksessä pisteessä vierekkäisten lukujen välinen etäisyys on rajoitettu (tässä yhteydessä tällaisten lukujen joukko voidaan ymmärtää laajana yleistyksenä ideasta Cantor-sarjan rakentaminen ). $x$ $x$

Zaremban hypoteesi

Rationaaliluvun jatkuva murto- osalaajennus on aina äärellinen, joten kaikki sen osaosamäärät ovat suurimman niistä rajoittamia. Siksi erityisen kiinnostava on kysymys siitä, onko mahdollista asettaa yhtenäisiä rajoituksia useimpien rationaalisten lukujen epätäydellisille murto-osille. Sen ohjasi Stanislav Zaremba vuonna 1972.

Zaremban hypoteesi

On olemassa sellainen absoluuttinen vakio , että jokaiselle nimittäjälle on osoittaja siten, että pelkistymättömän murtoluvun osit $c$ $q\in {\mathbb {N} }$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]

rajoittaa eriarvoisuus $a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s$

Burgain ja Kontorovich osoittivat arvauksen tiheyslukujen joukosta 1. [1] Pienille vakioarvoille ja erillisille sallittujen arvojen joukoille heikommat alarajat tällaisten jakaumille . [2] $q$ $c$ $a_{i}$ $q$

Kirjallisuus

J. Bourgain, A. Kontorovich. Zaremban olettamuksesta // Matematiikan Annals. - 2014. - Vol. 180 . - s. 137-196 .

I.D. Kan. Bourgain–Kontorovichin lauseen vahvistuminen. IV // Venäjän tiedeakatemian julkaisut. - 2016. - T. 80 , no. 6 . — S. 103–126 . (Venäjän kieli)

Muistiinpanot

↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 .
↑ Katso Kahn, 2016 ja muita saman sarjan teoksia.