Rajoitettu operaattori

Operaattoria kutsutaan rajatuksi, jos se kuvaa jokaisen alkuperäisen topologisen vektoriavaruuden rajatun joukon topologisen vektoriavaruuden rajoitettuun joukkoon . [yksi] $A:X\Y:lle$ $X$ $Y$

Yllä oleva määritelmä koskee sekä lineaarisia että epälineaarisia operaattoreita .

Lineaarisesti rajoitettu operaattori

Määritelmät

Lineaariselle operaattorille annetaan usein muita määritelmiä: [1]

Kutsumme lineaarista operaattoria rajoittuneeksi, jos on olemassa nollan naapuruus, joka on rajoitettu joukko . $A:X\Y:lle$ $U$ $A(U)$ $Y$
Kutsumme lineaarista operaattoria rajoittuneessa normaaliavaruudessa, jos on olemassa positiivinen luku , joka on . Pienin näistä luvuista on merkitty ja sitä kutsutaan operaattorin normiksi . Toisin sanoen, $A:X\Y:lle$ $C$ $\|Ax\| \le C\|x\|$ $C$ $\|A\|$ $A$

\|A\|=\up _{\|x\|=1}{\|Ax\|}

Ominaisuudet F-avaruuksissa

Huomautus: Banach -avaruus on F-avaruuden erikoistapaus .

Lause on totta, että F-avaruudesta toiseen toimiva lineaarisesti rajoitettu operaattori on jatkuva . [2]
Päinvastoin ( Banachin lause ) jokainen jatkuva operaattori on rajoitettu. [1] [2]

Katso siksi tällaisten operaattoreiden lisäominaisuudet artikkelista Jatkuva lineaarinen operaattori .

Kirjallisuus

↑ 1 2 3 Matemaattinen tietosanakirja / Vinogradov I.M. . - M . : Sov. tietosanakirja , 1977 . - T. 3.
↑ 1 2 Dunford N., Schwartz J. Lineaariset operaattorit. - M .: IL , 1962 . — T. 1. Yleinen teoria. - S. 66-67.