Rengastettu tila

Rengasavaruus on topologinen avaruus , jonka jokainen avoin joukko liittyy tämän joukon "funktioiden" kommutatiiviseen renkaaseen . Kaavioiden määrittelyssä käytetään erityisesti rengastettuja välejä .

Määritelmä

Rengasavaruus on topologinen avaruus , jossa on kommutatiivisten renkaiden nippu . Tätä nippua kutsutaan avaruusrakenteeksi . $(X,{\mathcal O}_{X})$ $X$ ${\mathcal O}_{X}$ $X$

Paikallisesti rengastettu tila on rengastettu tila, jossa lyhteen kuitu missä tahansa kohdassa on paikallinen rengas . ${\mathcal O}_{X}$

Esimerkkejä

Mikä tahansa topologinen avaruus voidaan varustaa paikallisesti rengastetun avaruuden rakenteella, jos tarkastellaan siinä jatkuvaa reaaliarvoista funktiota. Tämän lyhteen kuitu pisteessä x — jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden alkioiden rengas pisteessä x — on paikallinen rengas , jonka ainoa maksimaalinen ideaali on x :ssä häviävien funktioiden alkiot . Samoin sileä jakotukki , jossa on sulavia toimintoja, on paikallisesti rengastettu tila.

Jos X on algebrallinen muunnelma, jolla on Zariski-topologia (esimerkiksi jonkin renkaan spektri ), siinä esitellään paikallisesti renkaaman avaruuden rakenne seuraavasti: on joukko rationaalisia funktioita, jotka on määritelty koko U :lle . Tällaista rengastettua tilaa kutsutaan affiiniseksi skeemaksi , yleiset skeemat määritellään useiden affiinisten kaavioiden "liimauksen" tuloksena. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Rengasavaroiden morfismit

Jotta voit määrittää morfismin välillä - , sinun on korjattava seuraavat tiedot: $(X,{\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Jatkuva näyttö . $f:X\Y:ksi$
Jokaiselle avoimelle osajoukolle rengashomomorfismi . $U\in Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Rengashomomorfismien tulee olla yhteneväisiä lyhden rakenteen kanssa, eli niiden on muokattava restriktiokartoitusten kanssa. Nimittäin, jos ovat avoimia osajoukkoja , seuraavan kaavion on oltava kommutatiivinen: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

Paikallisesti renkaiden tilojen morfismien on täytettävä vielä yksi vaatimus. Jokaisen pisteen homomorfismit indusoivat homomorfismin kerroksesta pisteessä kerrokseen pisteessä . Vaaditaan, että kaikki nämä homomorfismit ovat paikallisia , eli ne vievät esikuvan maksimaalisen ideaalin kuvan maksimaalisen ideaalin osajoukkoon. $\varphi$ $x\in X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

Tangenttiväli

Paikallisesti rengasavaruuksien rakenne mahdollistaa sen, että voimme esittää merkityksellisen määritelmän tangenttiavaruudesta sen pisteessä. Harkitse pistettä rengastilassa . Harkitse paikallista rengasta (nipukuitu kohdassa x ), jolla on maksimaalinen ideaali . Sitten on kenttä, on vektoriavaruus tämän kentän päällä. Tangenttiavaruus pisteessä määritellään tämän avaruuden duaaliksi . $x\in X$ $(X,{\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $x$

Ideana on tämä: tangenttiavaruus koostuu vektoreista, joita pitkin voidaan "erottaa" tietyn pisteen "funktiot" eli renkaan elementit . Riittää, kun löydetään tapa erottaa funktiot, joiden arvo tietyssä pisteessä on nolla, koska loput eroavat niistä vakiolla, eli riittää, kun kuvataan funktioiden derivaatat . Tässä tapauksessa kahden funktion tulon differentiaali on nolla (haluamme, että tuotteen derivaatan kaava pysyy tosi). Siksi vektorin on annettava numero jokaiselle elementille , ja tämä on mitä kaksoisavaruuden elementit tekevät . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

On helppo tarkistaa, että sileiden jakotukkien tapauksessa, jossa on nippu sileitä toimintoja, tämä määritelmä on sama kuin tavallinen. Toisaalta topologisen avaruuden tapauksessa jatkuvien (reaaliarvoisten) funktioiden lyijykynällä , koska jatkuvalle funktiolle funktio on myös jatkuva. Siksi tässä tapauksessa missä tahansa pisteessä olevan tangenttiavaruuden ulottuvuus on 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Kirjallisuus

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elements de geometrie algébrique: I. Le langage des schémas. Arkistoitu 6. maaliskuuta 2016 Wayback Machine -julkaisuihin Mathématiques de l'IHÉS 4. Osa 0.4.
Ringed space - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . A. L. Onishchik