Rengasavaruus on topologinen avaruus , jonka jokainen avoin joukko liittyy tämän joukon "funktioiden" kommutatiiviseen renkaaseen . Kaavioiden määrittelyssä käytetään erityisesti rengastettuja välejä .
Rengasavaruus on topologinen avaruus , jossa on kommutatiivisten renkaiden nippu . Tätä nippua kutsutaan avaruusrakenteeksi .
Paikallisesti rengastettu tila on rengastettu tila, jossa lyhteen kuitu missä tahansa kohdassa on paikallinen rengas .
Mikä tahansa topologinen avaruus voidaan varustaa paikallisesti rengastetun avaruuden rakenteella, jos tarkastellaan siinä jatkuvaa reaaliarvoista funktiota. Tämän lyhteen kuitu pisteessä x — jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden alkioiden rengas pisteessä x — on paikallinen rengas , jonka ainoa maksimaalinen ideaali on x :ssä häviävien funktioiden alkiot . Samoin sileä jakotukki , jossa on sulavia toimintoja, on paikallisesti rengastettu tila.
Jos X on algebrallinen muunnelma, jolla on Zariski-topologia (esimerkiksi jonkin renkaan spektri ), siinä esitellään paikallisesti renkaaman avaruuden rakenne seuraavasti: on joukko rationaalisia funktioita, jotka on määritelty koko U :lle . Tällaista rengastettua tilaa kutsutaan affiiniseksi skeemaksi , yleiset skeemat määritellään useiden affiinisten kaavioiden "liimauksen" tuloksena.
Jotta voit määrittää morfismin välillä - , sinun on korjattava seuraavat tiedot:
Rengashomomorfismien tulee olla yhteneväisiä lyhden rakenteen kanssa, eli niiden on muokattava restriktiokartoitusten kanssa. Nimittäin, jos ovat avoimia osajoukkoja , seuraavan kaavion on oltava kommutatiivinen:
Paikallisesti renkaiden tilojen morfismien on täytettävä vielä yksi vaatimus. Jokaisen pisteen homomorfismit indusoivat homomorfismin kerroksesta pisteessä kerrokseen pisteessä . Vaaditaan, että kaikki nämä homomorfismit ovat paikallisia , eli ne vievät esikuvan maksimaalisen ideaalin kuvan maksimaalisen ideaalin osajoukkoon.
Paikallisesti rengasavaruuksien rakenne mahdollistaa sen, että voimme esittää merkityksellisen määritelmän tangenttiavaruudesta sen pisteessä. Harkitse pistettä rengastilassa . Harkitse paikallista rengasta (nipukuitu kohdassa x ), jolla on maksimaalinen ideaali . Sitten on kenttä, on vektoriavaruus tämän kentän päällä. Tangenttiavaruus pisteessä määritellään tämän avaruuden duaaliksi .
Ideana on tämä: tangenttiavaruus koostuu vektoreista, joita pitkin voidaan "erottaa" tietyn pisteen "funktiot" eli renkaan elementit . Riittää, kun löydetään tapa erottaa funktiot, joiden arvo tietyssä pisteessä on nolla, koska loput eroavat niistä vakiolla, eli riittää, kun kuvataan funktioiden derivaatat . Tässä tapauksessa kahden funktion tulon differentiaali on nolla (haluamme, että tuotteen derivaatan kaava pysyy tosi). Siksi vektorin on annettava numero jokaiselle elementille , ja tämä on mitä kaksoisavaruuden elementit tekevät .
On helppo tarkistaa, että sileiden jakotukkien tapauksessa, jossa on nippu sileitä toimintoja, tämä määritelmä on sama kuin tavallinen. Toisaalta topologisen avaruuden tapauksessa jatkuvien (reaaliarvoisten) funktioiden lyijykynällä , koska jatkuvalle funktiolle funktio on myös jatkuva. Siksi tässä tapauksessa missä tahansa pisteessä olevan tangenttiavaruuden ulottuvuus on 0.