Ortogonaaliset funktiot

Kahta yleisessä tapauksessa kompleksiarvoista funktiota ja Lebesguen avaruuteen kuuluvaa , jossa on mitattavissa oleva joukko , kutsutaan ortogonaaliseksi , jos $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $E$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

Vektorifunktioissa otetaan käyttöön integraalin alla olevien funktioiden skalaaritulo , ja segmentin integrointi korvataan integroinnilla vastaavan ulottuvuuden alueella. Hyödyllinen yleistys ortogonaalisuuden käsitteelle on ortogonaalisuus tietyllä painoarvolla. Ovat ortogonaalisia funktion painon ja jos $w$ $f$ $g$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

missä on vektorien skalaaritulo ja vektoriarvoisten funktioiden arvot ja pisteessä , on alueen piste ja sen tilavuuden elementti ( mitta ). Tämä kaava on kirjoitettu yleisimmällä tavalla verrattuna kaikkiin yllä oleviin. Kun kyseessä ovat todelliset skalaarit , skalaaritulo tulee korvata tavallisella; kompleksisten skalaarien tapauksessa : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $f$ $g$ $x$ $x$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

Vaatimus funktioiden kuulumisesta avaruuteen johtuu siitä, että avaruudet eivät muodosta Hilbert-avaruutta ja siksi niihin on mahdotonta esittää skalaarituloa ja sen mukana ortogonaalisuutta. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Esimerkki

$\sin x$ ja ovat ortogonaalisia funktioita välissä $\cos x$ $[0,\pi ]$
$\sin (2\pi knx$ ) ja , jossa on kokonaisluku, ovat ortogonaalisia välissä $\cos (2\pi knx)$ $n$ $[0, T], T = 1/k$
$x$ ja ortogonaali välissä $yksi$ $[-1,1]$

Ortogonaaliset funktiot

Esimerkki

Katso myös