Sekoitus (dynaamiset järjestelmät)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. elokuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Dynaamisten järjestelmien teoriassa sekoittaminen on järjestelmän ominaisuus "unohtaa" tietoa alkutilasta ajan myötä. Tarkemmin sanottuna erotetaan topologinen ja metrinen sekoitus. Ensimmäinen viittaa jatkuvien järjestelmien teoriaan ja sanoo karkeasti sanottuna, että riippumatta siitä, kuinka tarkasti pisteen alkusijainti tiedetään, ajan myötä sen mahdollinen sijainti muuttuu yhä tiheämmäksi. Toinen viittaa teoriaan mitattavissa olevista järjestelmistä - järjestelmistä, jotka säilyttävät jonkin suuren - ja toteavat, että absoluuttisen jatkuvan jakauma suhteessa suureen (esimerkiksi rajoitukset tietylle alkuehtojen osajoukolle ) pyrkii iteraatioiden aikana itse mittaan. . $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu$

Olkoon kaoottisen järjestelmän attraktori , jolle annetaan järjestelmän evoluutiooperaattori ja invarianttimitta . Segmentoimme attraktorin kahteen alueeseen, ja alueen pisteiden suhde, jotka evoluutiooperaattorin iteraatioiden kautta putosivat alueelle, voidaan kirjoittaa seuraavasti: $G$ $S(G)$ $\mu$ $B$ $W.$ $B$ $n$ $S$ $W,$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

Evoluutiooperaattori on sekoitus, jos at , arvo ei riipu alueen valinnasta ja sen määrittää relaatio at . Tämä kaava kuvaa fysikaalisesta näkökulmasta minkä tahansa alkuolosuhteiden alueen hämärtymistä kaikkien houkuttimien yli . Rajassa , joukon joukon pisteiden kuvien mitta on yhtä suuri kuin joukon koko attraktorilla mielivaltaisille joukoille ja [1] $S$ $n\rightarrow \infty$ $D_{n}$ $W,$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $G$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $W$ $B$ $G$ $B$ $W.$

Määritelmät

Topologinen sekoitus

Määritelmän mukaan (jatkuvan) dynaamisen järjestelmän sanotaan olevan topologisesti sekoittuva , jos kahdelle ei-tyhjälle avoimelle joukolle , $f:X\-X$ ${\näyttötyyli A,B\alajoukko X}$

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,

tai mikä on sama,

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,

Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että millä tahansa annetulla ja ei-tyhjällä avoimella joukolla kaikki riittävän suuren lukumäärän iteraatiot osoittautuvat -tiheiksi vaiheavaruudessa. $\varepsilon > 0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

Topologinen sekoitus on vahvempi ominaisuus kuin transitiivisuus . Siten ympyrän irrationaalinen kierto on transitiivinen, mutta ei sekoitu.

Metrinen sekoitus

Määritelmän mukaan mittaa säilyttävän mitattavissa olevan kartoituksen sanotaan olevan metrisesti sekoittuva , jos kahdelle mitattavalle joukolle , $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\to (X,{\mathcal {A)),\mu )$ ${\näyttötyyli A,B\in {\mathcal {A}}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .

Integroitavien funktioiden osalta tämä vastaa sanomista, että mille tahansa kahdelle funktiolle , $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

Mitan ergodisuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto metriselle sekoitukselle. Siten ympyrän irrationaalinen kierto säilyttää ergodisen Lebesguen mittansa , mutta ei ole metrisesti sekoittuvaa. $\mu$

Katso myös

Transitiivisuus (dynaamiset järjestelmät)
Dynaamisten järjestelmien spektriteoria

Muistiinpanot

↑ M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Kaoottisten järjestelmien sekoitus ja Ljapunov-eksponentit.

Kirjallisuus

Kornfeld I.P., Sinai Ya.G., Fomin S.V., Ergodic theory.
Sinai Ya.G., Ergodisen teorian moderneja ongelmia, Moskova: FizMatLit, 1995, s. 24.
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus dynaamisten järjestelmien moderniin teoriaan / käänn. englannista. A. Kononenko mukana S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .