Pisanon aikakausi

Pisanon jakso on Fibonacci-sekvenssin jakson pituus tietyn luonnollisen luvun m modulo . ${\näyttötyyli \pi (m)}$

Esimerkkejä

Määritetään esimerkiksi Pisanon kausi . Antaa olla -th Fibonacci numero. on jakojäännös Fibonacci-luvun luvulla . Täyttämällä seuraavan taulukon, $m = 4$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\mod m$ $i$ $m$

Määritelmä osoitteessa

{\näyttötyyli \pi (m)}

m = 4

$i$	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16	17	kahdeksantoista	…
${\näyttötyyli F_{i))$	yksi	yksi	2	3	5	kahdeksan	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	…
$F_{i}\mod m$	yksi	yksi	2	3	yksi	0	yksi	yksi	2	3	yksi	0	yksi	yksi	2	3	yksi	0	…

Huomaa, että sekvenssin kuusi ensimmäistä numeroa (0, 1, 1, 2, 3, 1) toistetaan äärettömästi, mikä tarkoittaa, että Pisano-jaksolla on kuusi: . $\{F_{i}\mod m\}$ $m = 4$ $\pi (4)=6$

Pisano-jaksoista koostuva sekvenssi on saanut numeron A001175 ja sen alku on esitetty seuraavassa taulukossa.

$m$	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16
${\näyttötyyli \pi (m)}$	yksi	3	kahdeksan	6	kaksikymmentä	24	16	12	24	60	kymmenen	24	28	48	40	24

Jaksoisuus

Fibonacci-sekvenssi modulo mikä tahansa luonnollinen luku on jaksollinen, koska ensimmäisten lukuparien joukossa on kaksi samansuuruista paria joillekin . Siksi kaikille luonnollisille k , , eli sekvenssi on jaksollinen. $m$ $m^{2}+1$ $(x_{i},x_{i+1})\equiv (x_{j},x_{j+1}){\pmod {m))$ $i\leqslant j$ $x_{i+k}\equiv x_{j+k}{\pmod {m))$

Ominaisuudet

Jos a ja b ovat suhteellisen alkulukuja , niin . Tai jos otetaan huomioon alkutekijöihin : , niin ( kiinalaisen jäännöslauseen seuraus ). $\pi (ab)=\mathrm {HOK} \left(\pi (a),\pi (b)\oikea)$ $m$ $m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k }}$ $\pi (m)=\mathrm {HOK} \left(\pi (p_{1}^{\alpha _{1))),\pi (p_{2}^{\alpha _{2} }\oikea),\ldots ,\pi (p_{k}^{\alpha _{k))))$

$\pi (m)=\sigma (m)\cdot \sigma _{0}(m)$ , jossa takana on jakson nollien lukumäärä ja takana on ensimmäisen nollan indeksi (ei lasketa ). Lisäksi tiedetään, että . $\sigma (m)\;$ $\sigma _{0}(m)\;$ $F_{0}$ ${\näyttötyyli \sigma (m)\in \{1,2,4\))$

Alkuluvulle ja kokonaisluvulle , . _ _ _ Lisäksi kaikille tarkat potenssit alkulukuja 1-miljoonaan, . Mutta vielä ei tiedetä (katso avoimet matemaattiset ongelmat ), päteekö tämä yhtälö kaikille luvuille ja onko p sellaisia, että . $s$ $k\geqslant 1$ $\pi (p^{k})|p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{k})=p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{2})=\pi (p)$

Jos on alkuluku, niin seuraavat väitteet ovat tosia: $s$
- kun luku on jakaja ; $p\equiv \pm 1{\pmod {5}}$ ${\näyttötyyli \pi (p)}$ $p-1$
- kun luku on jakaja . $p\equiv \pm 2{\pmod {5}}$ ${\näyttötyyli \pi (p)}$ $2\cdot p+2$

Kaikille positiivisille kokonaisluvuille epäyhtälö on tosi , ja tasa-arvo siinä saavutetaan vain muodon luvuilla . $m$ $\pi (m)\leqslant 6\cdot m$ ${\displaystyle m=2\cdot 5^{k))$

Linkit

Charles W. Campbell II, "The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j" , Math 399, kevät 2007
Marc Renault, "Fibonacci-sekvenssi modulo m"
N. N. Vorobjov. Fibonaccin numerot . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).