Jaksollinen tila

Jaksollinen tila on Markovin ketjun tila, jossa ketju vierailee vain aikavälein, jotka ovat kiinteän luvun kerrannaisia.

Osavaltiokausi

Olkoon diskreettiaikainen homogeeninen Markov-ketju , jossa on siirtymän todennäköisyysmatriisi . Erityisesti mille tahansa matriisi on vaihekohtaisten siirtymistodennäköisyyksien matriisi . Tarkastellaanpa sarjaa . Määrä $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P$ $n\in \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\oikea)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\oikea)

jossa tarkoittaa suurinta yhteistä jakajaa , kutsutaan tilajaksoksi . $\gcd$ $j$

Huomautus

Siten tilan ajanjakso on , jos siitä tosiasiasta, että , seuraa, että on jaollinen . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Jaksolliset tilat ja ketjut

Jos , niin tilaa kutsutaan jaksolliseksi . Jos , niin tilaa kutsutaan jaksottaiseksi . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Kommunikointitilojen jaksot ovat samat:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Siten Markov-ketjun minkä tahansa hajoamattoman luokan jakso on määritelty ja yhtä suuri kuin minkä tahansa sen edustajan jakso. Sen mukaisesti luokat jaetaan jaksollisiin ja jaksottaisiin.

Jos Markovin ketju on hajoamaton, niin sen kaikkien tilojen jaksot ovat samat ja niiden yhteistä arvoa kutsutaan ketjun jaksoksi. Ketjua kutsutaan jaksolliseksi, jos sen jakso on suurempi kuin yksi, ja muutoin jaksottaiseksi.

Valtioiden luokittelu ja Markovin ketjut
Osavaltio	jaksoton palautettavissa saavutettavissa peruuttamaton merkityksetön nolla määräajoin positiivinen kommunikoida merkittävä
Ketju	jaksoton palautettavissa peruuttamaton hajoamaton nolla kausijulkaisu positiivinen hajoava ergodinen