Morinan pinta

Morin-pinta on Bernard Morinin löytämä välimalli pallon muodonmuutokselle . Pinnalla on nelinkertainen pyörimissymmetria .

Jos alkuperäisellä nurinpäin käännettävällä pallolla on vihreä ulkopinta ja punainen sisäpuoli, niin silloin kun pallo muutetaan homotopian avulla Morin-pinnaksi, puolet ulkopuolelta näkyvästä Morin-pinnasta on vihreää ja toinen puoli punaista:

Puolet Morinin pinnasta vastaa pallon ulkopintaa (vihreä),
jonka kanssa se on homeomorfinen, ja toinen symmetrinen puoli vastaa pallon sisäpintaa (punainen).

Sitten pinnan pyörittäminen 90° sen symmetria-akselin ympäri muuttaa sen värejä, eli se muuttaa suuntautuvan pinnan napaisuutta (sisä-ulkopuolta) siten, että homotopian vaiheiden toistaminen täsmälleen samasta asennosta käänteisessä järjestyksessä alkuperäiseen. pallo Morin-pinnan kiertämisen jälkeen johtaa palloon, jonka ulkopuoli on punainen ja sisäpuoli vihreä, eli käänteiseksi palloksi. Alla on käännösvaiheet:

1. pallo: vihreä ulkopuolelta, punainen sisältä...
2. muuntaa...
3. Morin-pinta,
3'. Morin-pintaa kierretään 90°...
2'. käänteinen muunnos...
1'. pallo: ulkopuolella punainen, sisältä vihreä.

Morinin pintarakenne

Morinin pinta voidaan jakaa neljään yhteneväiseen osaan. Näihin osiin voidaan tässä viitata nimillä itä, etelä, länsi ja pohjoinen, tai jakso 0, jakso 1, jakso 2 ja jakso 3.

Morinan pinnan itäosa.

Morin-pinnassa on neljä pistettä, joiden kautta symmetria-akseli kulkee. Nämä neljä pistettä ovat kuuden ankkuripisteen rivin alku- ja loppupisteet. Jokainen neljästä osasta on rajattu kolmeen näistä solmupisteiden viivoista, joten jokainen neljästä osasta on homeomorfinen kolmiolle. Itäosa on nyt esitetty kaavamaisesti: Kuvassa on itäosuus, jota rajoittavat kolme silmukkaa ABCDA, AEFGA ja AHIJA. Kolmas silmukka, AHIJA, on ankkuripisteiden viiva, jossa itäosuus leikkaa itsensä. ABCDA-silmukka on hotspot-linja, joka yhdistää itäosan länsiosaan, ja AEFGA-silmukka on hotspot-linja, joka yhdistää itäosan eteläosaan. Tässä oleva piste on itse asiassa päällekkäinen neljän eri pisteen kanssa: .

${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$

Näin itäosuus liittyy muihin osioihin: määritetään jokainen sen rajaava silmukka järjestetyllä 4 pisteellä, sitten

{\näyttötyyli (A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})}

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

{\näyttötyyli (A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})}

jossa pisteet ilman lyöntiä kuuluvat osaan 0 (itä), pisteet, joissa on yksi veto, kuuluvat osaan 1 (etelä), pisteet, joissa on kaksi vetoa, kuuluvat osaan 2 (länsi) ja pisteet, joissa on kolme vetoa, kuuluvat osaan 3 (pohjoinen).

Loput kolme silmukkaa yhdistävät osat seuraavasti:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ yksi}).

Itäosassa on itsessään yksi ankkuripistesilmukka: AHIJA. Jos pinta taitetaan auki, tasainen tulos on seuraava: joka on homeomorfinen kolmiolle:

Yhdistämällä neljä kolmion muotoista osaa niiden saumoista saadaan tetraedri : joka on homeomorfinen pallon suhteen, tämä osoittaa, että Morinin pinta on itsensä leikkaava pallo.

Galleria Morin pinnoista

Neljä erilaista näkymää Morinin pinnasta: kaksi ensimmäistä on esitetty "siirtymäesteet" leikattuna, kaksi viimeistä "alhaalta".

Morinin analyyttinen pinta

Morin-pinta voidaan kuvata tyylikkäästi yhtälöjoukolla [1] joko avoimessa (napaiset äärettömyydessä) tai suljetussa versiossa.

Galleria Morin pinnoista

Katso myös

Palloversio

Muistiinpanot

↑ Bednorz, Bednorz, 2017 .

Kirjallisuus

Adam Bednorz, Witold Bednorz. Analyyttinen sfääriversio, jossa on mahdollisimman vähän topologisia tapahtumia. – 2017.

Linkit

"Turning a Sphere Inside Out" Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
A History of Sphere Eversions arkistoitu 11. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa