Palloversio

Pallon versio on prosessi, jossa pallon ulko- ja sisäpinnan paikkoja muutetaan kolmiulotteisessa avaruudessa differentiaalitopologian olosuhteissa . Pintojen itseleikkaus on sallittua, mutta joka hetki siinä ei ole epäjatkuvuutta ja se säilyttää sileyden . Toisin sanoen pallon kuvan tulee jokaisella muodonmuutoshetkellä pysyä erilaistuvana .

Mahdollisuuden pallon kääntää ylösalaisin löysi ensimmäisenä amerikkalainen matemaatikko Stephen Smale . Konkreettisen esimerkin esittäminen tällaisesta muunnoksesta on melko vaikeaa, joten tätä tulosta kutsutaan Smalen paradoksiksi [1] . Selvyyden vuoksi luotiin monia visualisointeja.

Sanamuoto

Olkoon kolmiulotteiseen avaruuteen pallon standardi upottaminen. Sitten on olemassa jatkuva yhden parametrin perhe tasaisia upotuksia , niin että ja . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3))$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Historia

Amerikkalainen matemaatikko Stephen Smale havaitsi ensimmäisen kerran mahdollisuuden kääntää palloa vuonna 1957 . Smalen opinnäytetyökonsultti Raul Bott totesi aluksi, että tulos oli ilmeisesti väärä. Hän selitti tämän sillä, että tällaisen muunnoksen pitäisi säilyttää Gaussin kartoituksen aste . Esimerkiksi tason sisällä olevalle ympyrälle ei ole tällaista muunnosa. Kuitenkin kolmiulotteisessa avaruudessa Gaussin mappausten y ja y to asteet ovat molemmat yhtä suuria kuin 1, eikä niillä ole vastakkaisia etumerkkejä, toisin kuin virheellinen oletus. Gaussin mappauksen aste kaikille upotuksille on yhtä suuri kuin 1, joten esteitä ei ole. $f$ $-f$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Pallon käännös voidaan tehdä myös -sileiden isometristen upotusten luokassa. [2] $C^1$
Kuusiulotteinen pallo , joka on upotettu seitsemänulotteiseen euklidiseen avaruuteen , mahdollistaa myös sisältä ulospäin. Yhdessä suoralla olevan nollaulotteisen pallon (kaksi pistettä) ja kaksiulotteisen pallon c kanssa nämä ovat ainoat mahdolliset tapaukset, joissa sisään upotettu pallo voidaan kääntää nurinpäin. $S^{6}$ $\mathbb {R} ^{7}$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$
- Lisäksi Smale-Kaiser-lause on pätevä : kaikki kaksi pallojen upotusta ovat säännöllisesti homotooppisia, jos ja vain jos . Kaikille muille sisäkkäiset pallot, joilla on eri suuntaukset, eivät ole säännöllisesti homotooppisia. [3] $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n=0,2,6$ $n$
H-periaate on yleinen tapa ratkaista tällaisia ongelmia.

Muistiinpanot

↑ E. A. Kudrjavtseva,. "Sileiden toimintojen toteuttaminen pinnoilla korkeusfunktioina" . Matto. Sat., 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru Haettu 23. helmikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 24. helmikuuta 2017. (määrätön)
↑ Gromov, M. Differentiaalisuhteet osittaisissa derivaateissa.
↑ J. Malesic, P.E. Pushkar, D. Repovsh. "Sisä-ulos pallot" . Haettu 3. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 25. marraskuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Smale, Stephen Kahden sfäärin upotusten luokittelu. Trans. amer. Matematiikka. soc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Topology kuvakirja kuinka piirtää matemaattisia kuvia. Moskova: Mir, 1991. Luku 6. Pallon kääntäminen nurinpäin.
Skopenkov A.B. Algebrallinen topologia geometrisesta näkökulmasta. - 2. painos, lisäys. - M: MTsNMO, 2020. - 304 s.

Linkit

Visualisointi pallon versiosta William Thurstonin menetelmällä (venäjänkielisillä tekstityksillä).
Ricky Reusser, Rendering a sphere eversion , joka perustuu hallitujen pintojen perheeseen