Pistekohtainen konvergenssi

Matematiikassa funktiosarjan pistekohtainen konvergenssi joukossa on eräänlainen konvergenssi , jossa tietyn joukon jokainen piste liittyy sekvenssin elementtien arvosarjan rajaan samassa pisteessä.

Tällä tavalla määriteltyä funktiota kutsutaan annetun sekvenssin rajafunktioksi tai sen pistekohtaiseksi rajaksi ja sanotaan, että annettu sekvenssi konvergoi pisteittäin rajafunktioon .

Vahvempi konvergenssin muoto on tasainen konvergenssi : jos funktionaalinen sekvenssi konvergoi tasaisesti , niin tämäkin sekvenssi konvergoi pisteittäin , mutta ei päinvastoin. Jotta funktiosarjan pistekohtainen raja olisi yhtenäinen, Cauchyn kriteerin on täytettävä .

Pistekohtaisen konvergenssin käsite siirtyy luonnollisesti funktionaalisiin perheisiin ja funktionaalisiin sarjoihin .

Määritelmä

Olkoon funktiosarja muotoa ( ), jossa on määritelmäalue, joka on yhteinen kaikille perheen toiminnoille. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\colon X\to {\mathbb {R}}$ $n = 1,2,\pisteet$ $X$

Korjaa piste ja harkitse muodon numeerista järjestystä . $x\in X$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Jos tällä sekvenssillä on (äärellinen) raja, piste voidaan liittää tämän sekvenssin rajaan, mikä merkitsee sitä : $x$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\to \infty }}f_{n}(x)

Jos otamme huomioon kaikki joukon pisteet, joissa määritetty raja on olemassa, voimme määrittää funktion . $E\alajoukko X$ $f\colon E\to {\mathbb {R}}$

Tällä tavalla määriteltyä funktiota kutsutaan joukon perheen funktiosarjan pistekohtaiseksi rajaksi : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \right)

kun taas perheen itsensä sanotaan suppenevan pisteittain funktioon sarjassa . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f$ $E$

Ominaisuudet

Pistekohtaisen konvergenssin käsite on jollain tavalla ristiriidassa tasaisen konvergenssin käsitteen kanssa . Erityisesti,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

tasaisesti

on sama kuin

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Tämä väite on vahvempi kuin pisteittäinen konvergenssiväite: jokainen tasaisesti suppeneva funktionaalinen sekvenssi konvergoi pisteittäin samaan rajafunktioon, mutta päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. Esimerkiksi,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

pisteittäin välillä [0,1), mutta ei tasaisesti välillä [0,1).

Jatkuvien funktioiden sarjan pisteraja ei välttämättä ole jatkuva funktio, vaan vain jos konvergenssi ei ole tasainen samaan aikaan. Esimerkiksi funktio

f(x)=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

ottaa arvon 1, jos x on kokonaisluku, ja 0:n, jos x ei ole kokonaisluku eikä siksi ole jatkuva kokonaislukujen kohdalla.

Funktion f n arvojen ei tarvitse olla todellisia, vaan ne voivat kuulua mihin tahansa topologiseen avaruuteen niin, että pisteittäisen konvergenssin käsite on järkevä. Toisaalta tasainen konvergenssi ei yleensä ole järkevää funktioille, jotka ottavat arvoja topologisista avaruksista, mutta se on järkevää siinä yksittäistapauksessa, jossa topologinen avaruus on varustettu metriikalla .

Topologia

Pistekohtainen konvergenssi on sama kuin konvergenssi tuotteen topologiassa avaruudessa Y X . Jos Y on kompakti , niin Tihonovin lauseen mukaan avaruus Y X on myös kompakti.

Mittateoriassa

Mitateoriassa otetaan käyttöön konvergenssin käsite lähes kaikkialla mitattavassa avaruudessa määritetyn mitattavien funktioiden sarjasta , mikä tarkoittaa konvergenssia lähes kaikkialla . Egorovin lause sanoo, että pisteittainen konvergenssi lähes kaikkialla äärellisen suuren joukossa merkitsee tasaista konvergenssia vain hieman pienemmässä joukossa.

Pistekohtainen konvergenssi

Määritelmä

Ominaisuudet

Topologia

Mittateoriassa

Katso myös