Ensisijainen , alkuluku ( eng. Primorial ) - lukuteoriassa funktio luonnollisten lukujen sarjassa , samanlainen kuin tekijäfunktio , sillä erolla, että alkuluku on peräkkäinen tulo alkulukuista , jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin annettu, kun taas Faktoriaali on kaikkien luonnollisten lukujen peräkkäinen tulo, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tietty luku.
Amerikkalainen insinööri ja matemaatikko Harvey Dubner [1] otti termin "primorial" käyttöön tieteelliseen liikkeeseen .
N : nnelle alkuluvulle p n alkuluku p n # määritellään ensimmäisen n alkuluvun tuloksi [2] [3] :
missä p k on k - as alkuluku.
Esimerkiksi p 5 # tarkoittaa viiden ensimmäisen alkuluvun tuloa:
Joten kuusi ensimmäistä esikuvaa ovat:
1, 2, 6, 30, 210, 2310 (OEIS-sekvenssi A002110 sisältää myös p 0 # = 1 tyhjänä tuotteena ).Asymptoottisesti primoriaalit p n # kasvavat sen mukaan
missä on merkintä "o" pieni [3] .
Yleensä positiiviselle kokonaisluvulle n alkuluku n # voidaan määritellä alkulukujen tulona, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n [2] [4] :
missä on alkulukujen jakaumafunktio (sekvenssi A000720 OEIS : ssä ), joka antaa alkulukujen määrän ≤ n , mikä vastaa
Esimerkiksi 12# on alkulukujen tulo, joista jokainen on ≤ 12:
Se voidaan siis laskea mm
Harkitse 12 ensimmäistä esikuvaa:
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.Näemme, että yhdistelmäluvuilla jokainen tämän sekvenssin jäsen yksinkertaisesti kopioi edellisen. Yllä olevassa esimerkissä 12# = p 5 # = 11#, koska 12 on yhdistelmäluku.
Luonnollinen logaritmi n # on ensimmäinen Tšebyševin funktio , joka on kirjoitettu muodossa tai ja joka lähestyy lineaarista n :ää suurilla n:n arvoilla [ 5] .
Primorials n # kasvaa mukaan
Alkuluvuilla on tärkeä rooli alkulukujen löytämisessä alkulukujen aritmeettisessa kulkueessa . Esimerkiksi lukujen 2236133941 + 23# lisääminen johtaa alkuluvun, joka aloittaa kolmentoista alkuluvun sekvenssin, joka saadaan lisäämällä peräkkäin 23# ja joka päättyy numeroon 5136341251. 23# on myös yleinen aritmeettinen ero viidentoista ja kuusitoista alkuluvun progressioita.
Jokainen moniosainen luku voidaan esittää esilukujen tulona (esimerkiksi 360 = 2 · 6 · 30) [6] .
Kaikki alkukirjat ovat neliövapaita , ja jokaisella on minkä tahansa alkulukua pienemmän luvun alkujakajan. Jokaisen primoriaalin n suhde on pienempi kuin millekään kokonaisluvulle, missä on Euler-funktio .
Jokainen alkuluku on heikosti totuttava luku [7] .
Riemannin zeta-funktio positiivisille luvuille, jotka ovat suurempia kuin yksi, voidaan ilmaista [8] käyttämällä primorial- ja Jordan-funktiota :
n | n # | p n | p n # |
---|---|---|---|
0 | yksi | ei ole olemassa | ei ole olemassa |
yksi | yksi | 2 | 2 |
2 | 2 | 3 | 6 |
3 | 6 | 5 | kolmekymmentä |
neljä | 6 | 7 | 210 |
5 | kolmekymmentä | yksitoista | 2310 |
6 | kolmekymmentä | 13 | 30030 |
7 | 210 | 17 | 510510 |
kahdeksan | 210 | 19 | 9699690 |
9 | 210 | 23 | 223092870 |
kymmenen | 210 | 29 | 6469693230 |
yksitoista | 2310 | 31 | 200560490130 |
12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
neljätoista | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
viisitoista | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
16 | 30030 | 53 | 32589158477190044730 |
17 | 510510 | 59 | 1922760350154212639070 |
kahdeksantoista | 510510 | 61 | 117288381359406970983270 |
19 | 9699690 | 67 | 7858321551080267055879090 |
kaksikymmentä | 9699690 | 71 | 557940830126698960967415390 |
Luvun n yhdistelmä, toisin kuin alkuluku, on n:ää pienempien yhdistelmälukujen tulo. Yhdistelmä on yhtä suuri kuin luvun faktoriaalin ja alkuluvun suhde: . Ensimmäiset viisitoista säveltäjä (lukuun ottamatta toistuvia arvoja) ovat 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 11588880067072000 [9] [ 92 ] [92] [92] [92475776000, 115888887072000, 5267275776000