Ensisijainen

Ensisijainen , alkuluku ( eng. Primorial ) - lukuteoriassa funktio luonnollisten lukujen sarjassa , samanlainen kuin tekijäfunktio , sillä erolla, että alkuluku on peräkkäinen tulo alkulukuista , jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin annettu, kun taas Faktoriaali on kaikkien luonnollisten lukujen peräkkäinen tulo, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tietty luku.

Amerikkalainen insinööri ja matemaatikko Harvey Dubner [1] otti termin "primorial" käyttöön tieteelliseen liikkeeseen .

Alkulukujen määritelmä

N : nnelle alkuluvulle p n alkuluku p n # määritellään ensimmäisen n alkuluvun tuloksi [2] [3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

missä p k on k - as alkuluku.

Esimerkiksi p 5 # tarkoittaa viiden ensimmäisen alkuluvun tuloa:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Joten kuusi ensimmäistä esikuvaa ovat:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (OEIS-sekvenssi A002110 sisältää myös p 0 # = 1 tyhjänä tuotteena ).

Asymptoottisesti primoriaalit p n # kasvavat sen mukaan

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

missä on merkintä "o" pieni [3] . $o(\cdot )$

Luonnollisten lukujen määritelmä

Yleensä positiiviselle kokonaisluvulle n alkuluku n # voidaan määritellä alkulukujen tulona, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

missä on alkulukujen jakaumafunktio (sekvenssi A000720 OEIS : ssä ), joka antaa alkulukujen määrän ≤ n , mikä vastaa $\pi(n)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{kun }}n>1.\end{cases}}

Esimerkiksi 12# on alkulukujen tulo, joista jokainen on ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Se voidaan siis laskea mm $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Harkitse 12 ensimmäistä esikuvaa:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Näemme, että yhdistelmäluvuilla jokainen tämän sekvenssin jäsen yksinkertaisesti kopioi edellisen. Yllä olevassa esimerkissä 12# = p 5 # = 11#, koska 12 on yhdistelmäluku.

Luonnollinen logaritmi n # on ensimmäinen Tšebyševin funktio , joka on kirjoitettu muodossa tai ja joka lähestyy lineaarista n :ää suurilla n:n arvoilla [ 5] . $\theta(n)$ $\vartheta (n)$

Primorials n # kasvaa mukaan

\ln(n\#)\sim n.

Ominaisuudet ja sovellukset

Alkuluvuilla on tärkeä rooli alkulukujen löytämisessä alkulukujen aritmeettisessa kulkueessa . Esimerkiksi lukujen 2236133941 + 23# lisääminen johtaa alkuluvun, joka aloittaa kolmentoista alkuluvun sekvenssin, joka saadaan lisäämällä peräkkäin 23# ja joka päättyy numeroon 5136341251. 23# on myös yleinen aritmeettinen ero viidentoista ja kuusitoista alkuluvun progressioita.

Jokainen moniosainen luku voidaan esittää esilukujen tulona (esimerkiksi 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Kaikki alkukirjat ovat neliövapaita , ja jokaisella on minkä tahansa alkulukua pienemmän luvun alkujakajan. Jokaisen primoriaalin n suhde on pienempi kuin millekään kokonaisluvulle, missä on Euler-funktio . $\phi (n)/n$ $\phi$

Jokainen alkuluku on heikosti totuttava luku [7] .

Arviointi

Riemannin zeta-funktio positiivisille luvuille, jotka ovat suurempia kuin yksi, voidaan ilmaista [8] käyttämällä primorial- ja Jordan-funktiota : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Arvotaulukko

n	n #	p n	p n #
0	yksi	ei ole olemassa	ei ole olemassa
yksi	yksi	2	2
2	2	3	6
3	6	5	kolmekymmentä
neljä	6	7	210
5	kolmekymmentä	yksitoista	2310
6	kolmekymmentä	13	30030
7	210	17	510510
kahdeksan	210	19	9699690
9	210	23	223092870
kymmenen	210	29	6469693230
yksitoista	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
neljätoista	30030	43	13082761331670030
viisitoista	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
kahdeksantoista	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
kaksikymmentä	9699690	71	557940830126698960967415390

Säveltäjä

Luvun n yhdistelmä, toisin kuin alkuluku, on n:ää pienempien yhdistelmälukujen tulo. Yhdistelmä on yhtä suuri kuin luvun faktoriaalin ja alkuluvun suhde: . Ensimmäiset viisitoista säveltäjä (lukuun ottamatta toistuvia arvoja) ovat 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 11588880067072000 [9] [ 92 ] [92] [92] [92475776000, 115888887072000, 5267275776000 ${\näyttötyyli n!/n\#}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Dubner, 1987 , s. 197-203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 1 2 sekvenssi A002110 OEIS : ssä .
↑ OEIS - sekvenssi A034386 . _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ A002182 - OEIS . Käyttöpäivä: 5. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 24. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Harvoissa numeroissa . Käyttöpäivä: 5. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)
↑ István Mező. Primorial- ja Riemannin zeta-funktio: [ fin. ] // The American Mathematical Monthly. - 2013. - Vol. 120. - s. 321.
↑ sävellykset . _ www.numbersaplenty.com. Haettu 1. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2018.
↑ OEIS - sekvenssi A036691 _
↑ Kokoelma - OeisWiki . oeis.org. Haettu 1. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 2. helmikuuta 2018.

Kirjallisuus

Harvey Dubner. Faktoriaaliset ja alkuluvut // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - Voi. 19. - s. 197-203.