Projektori (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Lineaarisessa algebrassa ja funktionaalisessa analyysissä lineaarisessa avaruudessa toimivaa lineaarista operaattoria kutsutaan projektoriksi (ja myös projektiooperaattoriksi ja projektiooperaattoriksi ), jos . Tällaista operaattoria kutsutaan idempotenttiksi . $P$ $P^{2}=P$

Abstraktisuudestaan huolimatta tämä määritelmä yleistää ajatuksen geometrisen projektion rakentamisesta .

Määritelmänä voidaan käyttää seuraavaa projektorin ominaisuutta: lineaarinen operaattori on projektori, jos ja vain jos on sellaisia aliavaruuksia ja avaruuksia , jotka laajenevat niiden suoraksi summaksi , ja lisäksi mille tahansa elementtiparille, joka meillä on . Alitilat ja ovat vastaavasti projektorin kuva ja ydin , ja niitä merkitään ja . $P:X\-X$ $U$ $V$ $X$ $X$ $u\in U,\ v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $V$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

Yleisessä tapauksessa lineaarisen avaruuden hajoaminen suoraksi summaksi ei ole ainutlaatuinen. Siksi tilan aliavaruudessa yleisesti ottaen on monia projektoreita, joiden kuva tai ydin on sama kuin . $V$ $X$ $V$

Projektiooperaattoreiden ominaisuudet

Antaa olla sama operaattori . Jos on projektori, se on myös projektori, ja . $minä$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
Äärillisulotteisessa normiavaruudessa kaikki projektiooperaattorit ovat jatkuvia .
Banach - tilassa projektiooperaattori on jatkuva, jos sen kuva on suljettu , ja myös projektorin ydin on suljettu. Näin ollen jatkuva projektori määrittelee tilan hajoamisen suljettujen aliavaruuksien suoraksi summaksi: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Projektorin ominaisarvot voivat olla vain 0 ja 1. Projektorin vastaavat ominaisavaruudet ovat sen ydin ja kuva.

Projektoriyhdistelmät

Antaa ja olla projektoreita määritelty vektoriavaruudessa ja heijastaa aliavaruuksiin ja vastaavasti. Sitten $P_1$ $P_2$ $X$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ on projektori aliavaruudessa jos ja vain jos . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ on projektori jos ja vain jos . heijastuu aliavaruuteen . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Jos , niin on projektori aliavaruuteen . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\cap M_{2}$

Esimerkkejä

Matriisi antaa avaruuden pisteiden ortogonaalisen projektion ( katso alla ) tasolle $(x, y, z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Se toimii pisteissä seuraavasti:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

Yksinkertaisin ei-ortogonaalinen projektori suorittaa tason pisteiden vinoprojektion suoralle viivalle . Sen antaa matriisi:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

On helppo osoittaa, että tämä on todellakin projektori:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Hankkeen antama projektio on ortogonaalinen silloin ja vain jos . $P$ $\alpha=0$

Ortoprojektori

Jos avaruus on Hilbert , eli sillä on sisätulo (ja siten ortogonaalisuuden käsite ), niin voimme ottaa käyttöön ortogonaalisen projektorin käsitteen. $X$

Ortogonaalinen projektori on projektorin erikoistapaus, kun edellä mainitut aliavaruudet ja ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden, toisin sanoen kun , tai , tai . Tässä tapauksessa elementin projektio on sitä lähinnä oleva tilan elementti . $U$ $V$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\in X$ $U$

Kirjallisuus

Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet = Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. - M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.