Gateaux-johdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Gateaux'n derivaatta laajentaa derivaatan käsitteen paikallisesti konvekseihin topologisiin vektoriavaruuksiin . Nimet on annettu ranskalaisen matemaatikon René Eugène Gâteaux'n ( fr. René Eugène Gâteaux ) kunniaksi.

Määritelmä

Olkoon ja olkoon normaaleja avaruuksia kentän päällä ja olkoon kartoitus, joka toimii kentältä $X$ $Y$ $\mathbb {R} ,$ $F$ $X$ $Y.$

Jos joillekin ja joillekin on raja (konvergenssi ymmärretään avaruusnormina ) $x\in X$ $h\in X$ $Y$

$dF(x,\;h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0} {F(x+t\cdot h)-F(x)\over t},$

silloin sitä kutsutaan pisteen kuvauksen Gateaux-differentiaaliksi (tai heikoksi differentiaaliksi ) . $F$ $x$ $h$

Kuvausta kutsutaan myös kuvauksen ensimmäiseksi muunnelmaksi pisteessä (inkrementti ). $dF(x,\;h)$ $F$ $x$ $h$

Gateaux-differentiaalilla on homogeenisuusominaisuus : jos on määritelty , niin jollekin määritellään $dF(x,\;h)$ $k\in \mathbb {R}$ $dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).$

Heikon differentiaalin ei tarvitse olla lineaarinen $h.$

Jos lineaarisuus pätee, eli

$dF(x,\;h)=F\;'(x)\ h,$

missä on rajoitettu lineaarinen operaattori, niin sitä kutsutaan pisteen kuvauksen heioksi derivaataksi (tai Gateaux-derivaattaksi ) $F\;'(x)$ $F\;'(x)$ $F$ $x.$

Katso myös

Kirjallisuus

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal Control — Mikä tahansa painos.