Sekajohdannaisten yhtäläisyys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Saman funktion seka-osittaisderivaatat , jotka eroavat vain differentiaatiojärjestyksestä (järjestyksestä), ovat keskenään samanarvoisia edellyttäen, että ne ovat jatkuvia. Tällaista ominaisuutta kutsutaan sekajohdannaisten yhtälöksi .

Itse väitettä sekajohdannaisten yhtäläisyydestä kutsutaan eri lähteissä Schwarzin lauseeksi, Clairaut'n lauseeksi tai Yangin lauseeksi .

Lause

Sekajohdannaisen määritelmä

Olkoon riittävän tasainen (skalaari) funktio useista muuttujista: $f$

(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Voimme ottaa tämän funktion osittaisen derivaatan yhden argumentin suhteen , kun taas muut argumentit pidetään vakioparametreina. Tuloksena saamme uuden toiminnon: $x_{i}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1} ,x_{i+1},\dots x_{n}=const}

Tämä uusi funktio riippuu myös muista argumenteista parametreina. Eli numeerinen arvo riippuu yleensä samoista muuttujista kuin alkuperäinen funktio : $\phi$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n))$ $f$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})

Jos funktio osoittautuu riittävän sujuvaksi, voimme myös erottaa sen ottamalla osittaisen derivaatan suhteessa samaan tai eri argumenttiin : $\phi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

Jos , niin yhtälön (4) oikealla puolella olevaa lauseketta kutsutaan sekaderivaataksi . $j\neq i$

Lauseen perusta

Monien muuttujien sujuvan funktion kannalta sekaderivaatan arvo ei riipu differentiaatiojärjestyksestä:

(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}

Lause on perustavanlaatuinen monien muuttujien funktioteoriassa ja sitä käytetään laajalti matemaattisessa fysiikassa, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa ja differentiaaligeometriassa.

Tarvittava sileysaste

Vaadittu sileysaste tulee määrittää askel askeleelta.

1. Analyyttisen funktion (lause) kelvollisuus.
2. Kelvollisuus laajemmalle funktioluokalle, jolla on vain sellaisia jatkuvia derivaattoja pisteen läheisyydessä:

(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i)),\;{\partial f \over \partial x_{j)),\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j)),{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

3. Koska kiinteille indekseille otetaan kaikki listan (6) derivaatat sillä ehdolla, että mikä tahansa kolmas argumentti on vakio, funktio (samoin kuin kaikki derivaatat (6)) voi olla epäjatkuvia kolmansien argumenttien suhteen. Tehdään esimerkiksi funktio kahdesta termistä: $i, j$ $x_k$ $f$

f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\pisteet x_{i-1},x_{ i+1},\pisteet x_{j-1},x_{j+1},\pisteet )

jossa ensimmäinen termi on tasainen funktio kahdesta argumentista ja toinen termi on epäjatkuva kaikissa kohdissa.

Lauseen todistuksen aikana on tehtävä funktion sileyden lisäjalostus, joka muotoillaan aivan lopussa.

Lauseen todistus

Kuten edellä todettiin, lauseen todistamiseksi voidaan jättää huomiotta funktion riippuvuus kolmansista argumenteista. Siksi merkinnän helpottamiseksi muutamme merkinnän muotoon , eli tarkastelemme tällaista kahden muuttujan funktiota: ${\näyttötyyli x_{i},x_{j}}$ $x,y$

(7)\qquad f=f(x,y)

Lisäksi kaavojen yksinkertaistamiseksi merkitsemme osittaiset derivaatat indekseillä funktion alaosassa:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f (x,y) \yli \osittainen y}

(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\osittainen x}

Olkoon pisteessä sekajohdannainen: $(x, y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \over \Delta x}

Oletetaan, että sekaderivaata on olemassa kohdassa , ja että (vaaka) linjalla on myös ensimmäinen derivaatta $f_{xy}$ $(x, y)$ $f_{y}(x,y)$ $y=const$ .

Lisäksi derivaattojen erotus on yhtä suuri kuin erotuksen derivaatta, joten muutetaan kaava (9):

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\oikea]

Tämä muunnos ei aseta lisäehtoja, koska differentioituvien funktioiden ero on aina differentioituva funktio.

Lisäksi kaavan (10) hakasulkeiden ero voidaan kirjoittaa derivaatan määrätyksi integraaliksi:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

On välttämätöntä, että suoraa pitkin $f_{x}$ $y=const$ on olemassa osittainen derivaatta .

Nyt kirjoitetaan osittaisderivaata y:n suhteen kaavaan (11) derivaatan määritelmän mukaisesti rajaksi:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)

Kuten näet, on välttämätöntä, että osittaisderivaata ei ole olemassa vain viivalla , vaan jossain pisteen kaksiulotteisessa ympäristössä . $f_{x}$ $y=const$ $(x, y)$

Lisäksi integraalien ero on yhtä suuri kuin eron integraali, ja integraalimerkin alle voidaan ottaa vakiotekijä : ${1 \over \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi

Tämä muunnos ei myöskään aseta lisäehtoja, koska integroitavien funktioiden ero on integroitava funktio.

Lagrangen lauseen mukaan kaavan (13) integrandi on yhtä suuri kuin derivaatta keskipisteessä:

(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )

Keskipiste on funktio:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)

joiden arvot ovat välissä (jos esim. ) $\Delta y>0$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

Kohdan (14) pätevyyteen vaaditaan sekaderivaatan olemassaolo jossain pisteen kaksiulotteisessa ympäristössä . ${\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x))$ $(x, y)$

Todistuksen täydentämiseksi on oletettava, että sekaderivaata on jatkuva jossakin pisteessä kahden muuttujan funktiona. Tämän derivaatan arvo sulkupisteessä on yhtä suuri, jopa äärettömään pieneen termiin, kuin derivaatan arvo kohdassa : $(x, y)$ $(\xi ,\eta )$ $(x, y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

Sekoitettu derivaatta esiintyy pisteen kaksiulotteisessa ympäristössä ja on jatkuva siinä pisteessä kahden muuttujan funktiona. ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$

Korvaa (14) ja (15) kohtaan (13):

(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Huomaa, että kaava (16) vastaa kaavaa (13) (vaikkakin eri merkinnöissä), ja siksi integraali ja molemmat rajat ovat olemassa. Koska (16):n integrandi on integroitavissa ja ensimmäinen termi on vakio suhteessa integrointimuuttujaan , myös toinen termi osoittautuu integroitavaksi, ja voimme jakaa integraalin kahden integraalin summaksi, joista ensimmäinen joka on helppo ottaa vakion integraaliksi: $f_{yx}(x,y)$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

Sen jälkeen kun (17) on korvattu (16), voimme viedä vakiotermin ensin ensimmäisen rajan ulkopuolelle ja sitten toisen rajan ulkopuolelle:

(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Osoitetaan, että kaavan (18) viimeisen lausekkeen toinen termi on yhtä suuri kuin nolla. Otetaan mielivaltainen positiivinen luku . Sekaderivaatan jatkuvuus pisteessä tarkoittaa, että on olemassa positiivinen luku siten, että jokaiselle neliön sisällä olevalle pisteelle pätee seuraava epäyhtälö: $\epsilon$ ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$ $\delta$ $(\xi ,\eta )$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Jos otamme positiivisia lukuja , niin kaavan (18) viimeisen termin integraali estimoidaan ylhäältä: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Merkitään tämä termi $L$

(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

Samalla tavalla (jos otamme ), meillä on pienempi arvio: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Koska positiivinen luku voi olla mielivaltaisen pieni, siitä seuraa välttämättä . Lause on todistettu. $\epsilon$ $L=0$

Funktion sileyden jalostus

Kuten todistuksen aikana voidaan nähdä, funktiolla vaaditaan yksi sekaderivaata (esimerkiksi ) pisteessä sekä toisen sekaderivaatan olemassaolo pisteen ja sen kaksiulotteisessa ympäristössä. jatkuvuus tässä vaiheessa. Tämä ehto tarkoittaa myös derivaatan olemassaoloa janaa pitkin ja derivaatan olemassaoloa pisteen kaksiulotteisessa ympäristössä. $f_{xy}$ ${\displaystyle f_{yx))$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $f_{x}$

Lisäksi olemassaolo pisteessä seuraa kahdesta tosiasiasta: (a) pisteen läpi kulkevalla janalla on derivaatta , (b) sekaderivaata on olemassa ja on jatkuva tässä pisteessä. $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{yx))$

Esimerkki

Harkitse toimintoa

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

jossa Dirichlet-funktio on nolla rationaalisissa pisteissä ja yksi irrationaalisissa pisteissä. Funktio (23) on määritelty koko tasossa; on jatkuva (kahden muuttujan funktiona) pitkin viivaa ja on epäjatkuva kaikissa muissa tason pisteissä. ${\näyttötyyli \chi (y)}$ $y={m \over n}$ $y=0$

Kaikkialla on jatkuva osittainen derivaatta:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y

ja myös yksi sekajohdannaisista:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1

Osittaisderivaata suhteessa y:ään on olemassa vain pisteissä viivalla : $y = 0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

Myös samoissa linjan pisteissä on toinen sekoitettu derivaatta:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \over \Delta x}=1

Kuten näet, suoran pisteille lauseen ehdot täyttyvät ja molemmat sekaderivaatat ovat yhtä suuret. $y=0$

Vastaesimerkki

Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota $x,y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2))))

jossa kirjaimet tarkoittavat joitain nollasta poikkeavia parametreja. Kaava (28) määrittelee jatkuvan funktion kaikkialla tasolla paitsi origossa . Voimme määrittää funktion uudelleen alkuperässä $a,b$ $x=0,\;y=0$ $f(x,y)$

(29)\qquad f(0,0)=0

Näiden määritelmien mukaan funktio on myös jatkuva origossa, mikä näkyy esittämällä kaava (28) napakoordinaatistossa (ja suuntaamalla ): $r\rightarrow 0$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Osoitetaan, että tälle laajennetulle funktiolle on olemassa sekajohdannaisia origossa, mutta ne eivät ole keskenään samanarvoisia. $f(x,y)$

Ensin lasketaan ensimmäiset derivaatat . Välituloksena huomaamme, että moduulikuutiofunktio on kahdesti differentioituva ja sen ensimmäinen ja toinen derivaatta lasketaan kaavoilla: ${\displaystyle f_{x},\,f_{y))$

(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|

Nyt, ottaen huomioon (28) ja (31), kirjoitetaan funktion ensimmäiset derivaatat johonkin muuhun tason pisteeseen kuin origo ( ): $f(x,y)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}

Voit myös laskea ensimmäiset derivaatat origossa derivaatan määritelmän perusteella:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{ x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0

samoin

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Siirrymme nyt sekajohdannaisten laskemiseen alkuperässä:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|

Samanlainen laskelma antaa:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

On helppo nähdä, että kaavat (34) ja (35) antavat erilaisia tuloksia, jos:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

Syynä tähän eriarvoisuuteen on se, että lauseen ehto ei täyty - molemmat sekaderivaatat (vaikka niitä on kaikkialla) ovat epäjatkuvia origossa.

Voit myös harkita toimintoa

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2))

Yksinkertaistettu todiste analyyttisille funktioille

Kahden muuttujan analyyttinen funktio (ainakin paikallisesti) laajenee konvergentiksi potenssisarjaksi:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

Kuten tiedetään, potenssisarja voidaan erottaa termiltä sen konvergenssisäteellä. Siten löydämme ensimmäiset johdannaiset:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0 })^{m-1}

Toistuva (38) ja (39) eriyttäminen antaa saman kaavan molemmille sekajohdannaisille:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(v-v_{0})^{m-1}

Katso myös

Sekajohdannainen

Kirjallisuus

Hazewinkel, Michiel. Matematiikan tietosanakirja (määrittelemätön) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics and Gravitation (Englanti) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .