Tasainen konvergenssi

Antaa olla mielivaltainen joukko , olla metrinen avaruus ja funktiosarja. Sekvenssin sanotaan suppenevan tasaisesti [1] funktioon , jos jollekin on olemassa luku , joka kaikille luvuille ja kaikille pisteille on epäyhtälö $X$ $Y=(Y,d)$ $f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots$ $f_n$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $n>N_{\varepsilon }$ $x\in X$

\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon

Yleensä merkitty . $f_{n}\rightarrows f$

Tämä ehto vastaa

\lim _{{n\to \infty }}\sup _{{x\in X}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

Ominaisuudet

Jos on lineaarinen normi-avaruus ja kuvausten ja sekvenssit suppenevat tasaisesti joukossa , niin sekvenssit ja minkä tahansa myös konvergoivat tasaisesti . $Y$ $f_{n}\kaksoispiste X\Y:ksi$ $g_{n}\kaksoispiste X\Y:ksi$ $n = 1,2,\pisteet$ $X$ $\{f_{n}+g_{n}\}$ $\{\alpha f_{n}\}$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $X$

Reaaliarvoisille funktioille (tai yleisemmin, jos on lineaarinen normirengas ) kuvausten sekvenssi konvergoi tasaisesti joukossa ja rajatussa mappauksessa, silloin sekvenssi konvergoi myös tasaisesti . $Y$ $f_{n}\colon X\to \mathbb{R}$ $X$ $g\colon X\to \mathbb{R}$ $\{gf_{n}\}$ $X$

Jos on topologinen avaruus , on metrinen avaruus ja pisteessä jatkuva kuvausten sarja konvergoi tasaisesti joukossa kuvaukseksi , niin tämä kuvaus on myös jatkuva pisteessä . $X$ $Y$ $x_{0}\in X$ $f_{n}\kaksoispiste X\Y:ksi$ $X$ $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $x_{0}$

Jos Riemannin ( Lebesgue ) integroitavien funktioiden sarja konvergoi tasaisesti intervallilla funktioon , niin tämä funktio on myös Riemannin (vastaavasti Lebesgue) integroitavissa ja yhtäläisyys pätee mihin tahansa ja funktiojonon konvergenssi intervalliin toiminto on yhtenäinen. $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $[a,b]$ $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $x\in[a,b]$
     $\lim _{{n\to \infty }}\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
$[a,b]$
     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

Jos jatkuvasti differentioituvien funktioiden sekvenssi segmentillä , konvergoi jossain pisteessä ja niiden derivaattojen sekvenssi konvergoi tasaisesti :lle , niin sekvenssi myös konvergoi tasaisesti :lle ja sen raja on tällä segmentillä jatkuvasti differentioituva funktio. $[a,b]$ $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $x_{0}$ $[a,b]$ $\{f_{n}\}$ $[a,b]$

Muistiinpanot

↑ Kudrjavtsev L. D. Tasainen konvergenssi // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 787-789. - 1216 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.

Kirjallisuus

Aleksandrov P.S. Johdanto joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan, M., 1977.
Kolmogorov A. N., Fomin S. B. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. 5. painos, M., 1981.
Kelly J. L. Yleinen topologia. 2. painos, M., 1951.
Medvedev F. A. Sarjojen yhtenäisen lähentymisen käsitteen historiasta. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1974. - Nro 19 . - S. 75-93 .