Dyson sarja

Dyson -sarja on sirontateorian häiriösarja , jonka jokainen termi voidaan esittää Feynman-kaaviona . Sarja kantaa Freeman Dysonin nimeä ja poikkeaa yleisesti, mutta jo tämän sarjan toinen termi kvanttielektrodynamiikassa mahdollistaa jopa 10 −10 :n tarkkuuden saavuttamisen hienorakennevakion pienuuden vuoksi .

Dyson - sarjan rakentamisessa käytetään ajallisen järjestyksen käsitettä .

Järjestelmä

Systeemiä tutkitaan Hamiltonin kuvaamalla tavalla, joka on häiriöttömän osan ja häiriön summa:

{\hat {H}}={\hattu {H}}_{0}+{\hattu {V}}

Vuorovaikutusesityksessä aaltofunktion evoluutiooperaattori täyttää Tomonaga-Schwinger-yhtälön ${\näyttötyyli {\hattu {U}}(t,t_{0})}$

i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hattu {V}}(t){\hattu {U}}(t ,t_{0})

missä

{\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar { \hat {H}}_{0}t},

tai integro-differentiaaliyhtälö

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V }}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}

Korvaamalla evoluution operaattorin vasemmalta puolelta oikealle, saamme äärettömän sarjan:

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V }}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ ldots

Dysonin ehdotus

Dyson ehdotti integraatioiden laajentamista jokaisessa integraalissa alkaen - , mutta vaatia, että operaattorit tilataan aina ajoissa, eli tuotteessa on aina . Sitten sarjan kukin termi kasvaa kertaa. ${\näyttötyyli t_{0))$ $t$ ${\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})$ ${\displaystyle t_{1}>t_{2))$ $n!$

Seurauksena on, että sarjan n:s jäsen näyttää tältä:

{\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{ t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T }}{\hattu {V}}(t_{1}){\hattu {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})))}.

missä on tilausoperaattori. ${\mathcal {T}}$

Tämän seurauksena Dyson-sarja voidaan kirjoittaa kompaktissa muodossa:

{\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0} )={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau ))).

Lähteet

A. G. Sitenko . Luennot sirontateoriasta. - Vishcha-koulu, 1971. - 260 s. (Venäjän kieli)