Samanaikaisten yhtälöiden järjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. marraskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Samanaikaisten yhtälöiden järjestelmä on joukko ekonometrisiä yhtälöitä (usein lineaarisia ), jotka määrittävät taloudellisten muuttujien keskinäisen riippuvuuden. Tärkeä "samanaikaisten" yhtälöiden järjestelmän erottava piirre muista yhtälöjärjestelmistä on samojen muuttujien läsnäolo järjestelmän eri yhtälöiden oikealla ja vasemmalla puolella (puhumme mallin ns. rakennemuodosta , Katso alempaa).

Muuttujia kutsutaan endogeenisiksi, joiden arvot määritetään tutkitun talousjärjestelmän toimintaprosessissa. Niiden arvot määritetään "samanaikaisesti" joidenkin ulkoisten muuttujien arvojen perusteella, joiden arvot määritetään mallin ulkopuolella, asetetaan ulkopuolelta. Samanaikaisten yhtälöiden järjestelmissä endogeeniset muuttujat riippuvat sekä eksogeenisista että endogeenisista muuttujista.

Muuttujien välisen suhteen tiukkuuden mittaaminen, eristettyjen regressioyhtälöiden rakentaminen ei riitä selittämään monimutkaisten talousjärjestelmien toimintaa. Yhden muuttujan muutos ei voi tapahtua, kun muut pysyvät ehdottoman muuttumattomina. Sen muutos tuo mukanaan muutoksia koko toisiinsa liittyvien ominaisuuksien järjestelmään. Näin ollen yksittäinen regressioyhtälö ei voi karakterisoida yksittäisten piirteiden todellista vaikutusta tuloksena olevan muuttujan vaihteluun . Siksi taloustutkimuksessa muuttujajärjestelmän välisten suhteiden rakenteen kuvaamisen ongelma on ottanut tärkeän paikan.

Rakenteellinen ja pelkistetty muoto. Tunnistettavuus

Järjestelmän rakenteellinen muoto on järjestelmäesitys, jossa yhtälöissä voi olla useampi kuin yksi endogeeninen muuttuja (vakiomerkinnöissä tämä tarkoittaa, että yhtälöiden oikealla puolella on endogeeniset muuttujat eli regressorit). Järjestelmän rakenteellinen muoto kuvaa taloudellisten muuttujien välisten riippuvuussuhteiden järjestelmää.

${\begin{cases}y_{1t}=\sum _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\sum _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\sum _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\sum _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Siirtämällä endogeeniset muuttujat vasemmalle puolelle rakennemuoto voidaan esittää seuraavassa matriisimuodossa

$YA=XB+E$

Järjestelmän pelkistetty (ennustava) muoto on järjestelmän esitys, jossa jokaisessa yhtälössä on vain yksi endogeeninen muuttuja, eli endogeeniset muuttujat ilmaistaan eksogeenisten muuttujien kautta:

$Y=X\Pi+U$

Tämä on niin kutsuttu rajoittamaton pelkistetty muoto. Rakennemuoto voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$Y=XBA^{-1}+EA^{-1}$

Tämä on niin kutsuttu rajoitettu pelkistetty muoto, eli pelkistetty muoto, jossa on rajoitus seuraavan muodon kertoimille: . $\Pi =BA^{-1}$

Jos rakenteellinen muoto on annettu, niin on aina mahdollista saada rajoitettu pelkistetty muoto (oletetaan, että matriisi A on ei-degeneroitunut). Päinvastoin ei kuitenkaan aina ole mahdollista, ja jos mahdollista, se ei ole aina yksiselitteistä.

Rakenneyhtälöä kutsutaan tunnistettavaksi , jos sen kertoimet voidaan ilmaista pelkistetyn muodon kertoimilla. Jos tämä voidaan tehdä yhdellä tavalla, niin he sanovat tarkasta tunnistettavuudesta , jos usealla tavalla - ylitunnistettavuudesta . Muuten sitä kutsutaan tunnistamattomaksi. Ylitunnistaminen tarkoittaa itse asiassa sitä, että supistetun muodon kertoimille asetetaan joitain rajoituksia (ylitunnistus). Täysin pelkistetyssä muodossa kaikki eksogeeniset muuttujat ovat mukana, eikä kertoimille ole asetettu rajoituksia.

Välttämätön ehto rakenneyhtälön tunnistettavuudelle ( järjestysehto ): yhtälön oikealla puolella olevien muuttujien lukumäärä ei saa ylittää järjestelmän kaikkien eksogeenisten muuttujien määrää . Kanonisessa muodossa (kun ei ole "vasenta" ja "oikeaa" osia) tämä ehto on toisinaan muotoiltu seuraavasti: annetusta yhtälöstä pois jätettyjen eksogeenisten muuttujien lukumäärä ei saa olla pienempi kuin endogeenisten muuttujien lukumäärä. yhtälö miinus yksi. Jos tämä ehto ei täyty, yhtälöä ei voida tunnistaa. Jos se suoritetaan yhtäläisyysmerkillä, se on todennäköisesti positiivisesti tunnistettavissa, muuten se on ylitunnistettavissa.

Riittävä ehto rakenneyhtälön tunnistettavuudelle : tässä yhtälössä puuttuvien muuttujien kertoimista (muissa yhtälöissä) koostuvan matriisin järjestys ei ole pienempi kuin järjestelmän endogeenisten muuttujien kokonaismäärä miinus yksi.

Esimerkkejä

Yksinkertaisin makrotaloudellinen (keynesilainen) malli

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Tässä C ja Y ovat kulutus (kulutuskulutus) ja tulot ovat mallin endogeenisiä muuttujia, I on investointi on mallin eksogeeninen muuttuja, b on kulutuksen raja

Mallin annettu muoto näyttää tältä:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Arvoa kutsutaan sijoituskertoimeksi (sijoituksen yksikkölisäys johtaa merkittävästi suurempaan tulon muutokseen). $m=1/(1-b)$

Voidaan tarkistaa järjestyksen tunnistettavuusehto. Ensimmäisessä yhtälössä oikealla on 1 endogeeninen muuttuja eikä eksogeenisiä muuttujia (vakio huomioimatta). Mallissa on 1 eksogeeninen muuttuja (myös ilman vakiota). Siten tunnistettavuuden järjestysehto (välttämätön) täyttyy.

Voidaan nähdä, että supistettu muoto on rajoitettu kahdella rajoituksella ja . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Rekursiiviset yhtälöjärjestelmät

Samanaikaisten yhtälöjärjestelmien erikoistapaus ovat ns. rekursiiviset järjestelmät , joissa endogeenisten muuttujien kertoimien matriisi on kolmiomainen (yleensä pienempi kolmio). Tämä tarkoittaa, että ensimmäisessä yhtälössä yksi endogeeninen muuttuja ilmaistaan vain eksogeenisten muuttujien kautta. Toisessa, toinen endogeeninen eksogeenisen kautta ja mahdollisesti ensimmäisen endogeenisen kautta. Kolmas - eksogeenisen ja kahden ensimmäisen endogeenisen jne. Sellaisen mallin sanotaan olevan puhtaasti rekursiivinen , jos lisäksi eri yhtälöiden satunnaiset virheet ovat korreloimattomia.

Menetelmät samanaikaisten yhtälöjärjestelmien estimointiin

Tavallisen pienimmän neliösumman menetelmän suora soveltaminen järjestelmän yhtälöiden estimointiin (rakenteellisessa muodossa) ei ole tarkoituksenmukaista, koska samanaikaisten yhtälöiden järjestelmissä regressioanalyysin tärkein ehto, tekijöiden eksogeenisuus , rikotaan. Tämä johtaa siihen, että parametriarviot ovat puolueellisia ja epäjohdonmukaisia .

Epäsuorat pienimmän neliösumman

Tavallista pienimmän neliösumman menetelmää voidaan soveltaa järjestelmän pelkistettyyn muotoon, koska tässä muodossa kaikkien tekijöiden oletetaan olevan eksogeenisiä. Epäsuoran pienimmän neliösumman menetelmän ( KMNK , ILS ) olemus on estimoida rakenteelliset kertoimet korvaamalla analyyttiseen lausekkeeseen niiden riippuvuus viimeksi mainitun annetuista estimaateista, jotka on saatu tavallisella pienimmän neliösumman menetelmällä. Saadut arviot ovat johdonmukaisia.

Pienin neliösumman epäsuoran menetelmän käyttö on mahdollista vain, jos järjestelmä on tarkasti tunnistettavissa. Usein järjestelmän yhtälöt ovat kuitenkin yliidentifioituja. Tässä tapauksessa rakennemuotoparametreille on olemassa useita asymptoottisesti vastaavia, mutta erilaisia arvioita, joiden välillä ei yleensä ole valintakriteeriä.

Kaksivaiheiset pienimmän neliöt

Kaksivaiheisen pienimmän neliösumman menetelmän ( DMLS , TSLS , 2SLS ) olemus on seuraava:

Vaihe 1. Endogeenisten muuttujien riippuvuus kaikista eksogeenisistä muuttujista arvioidaan tavallisella pienimmän neliösumman menetelmällä (itse asiassa rajaton pelkistetty muoto estimoidaan).

Vaihe 2. Mallin rakenteellinen muoto estimoidaan tavallisella pienimmän neliösumman menetelmällä, jossa endogeenisten muuttujien sijasta käytetään niiden ensimmäisessä vaiheessa saatuja arvioita.

Kun järjestelmä on tarkka tunnistettavissa, LSLS-estimaatit ovat yhtäpitäviä LSLS-estimaattien kanssa.

Voidaan osoittaa, että kunkin yhtälön parametrien LSSM-estimaatit ovat itse asiassa yhtä suuret:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

missä Z on kaikkien tämän yhtälön oikealla puolella olevien muuttujien matriisi, X on järjestelmän kaikkien eksogeenisten muuttujien matriisi.

Kolmivaiheinen OLS

Kaksivaiheisessa pienimmän neliösumman menetelmässä itse asiassa jokainen rakennemuodon yhtälö arvioidaan muista yhtälöistä riippumatta, eli rakennemuodon yhtälöiden mahdollista satunnaisten virheiden välistä suhdetta ei oteta huomioon. Kolmivaiheisessa pienimmän neliösumman menetelmässä ( TMLS , 3SLS ) kaksi ensimmäistä vaihetta ovat samat kuin LSLS ja lisää:

Vaihe 3. Rakenneyhtälöiden jäännösten LMNC-estimaattien perusteella saadaan estimaatti järjestelmän satunnaisvirhevektorin kovarianssimatriisista ja sen avulla saadaan uusi kertoimien estimaatti käyttämällä yleistettyjä pienimmän neliösumman menetelmä .

Jos yhtälöiden välillä on korrelaatioita , LSLS-estimaattien tulisi teoriassa olla parempia kuin LSLS-estimaatteja.

Suurimman todennäköisyyden menetelmät

Full Information Maximum Likelihood Method ( FIML ) on menetelmä, joka käyttää kaikkia tietoja mallin supistetun muodon rajoituksista.

Rajoitetun tiedon maksimitodennäköisyysmenetelmä ( LIML , Least Dispersion Ratio Method ) on suunniteltu estimoimaan järjestelmän yksittäinen yhtälö. Loput yhtälöt arvioidaan vain siinä määrin kuin on tarpeen annetun yhtälön arvioimiseksi. Ensimmäinen arvioidaan rakenteellisessa muodossa, loput rajattomasti supistetussa muodossa, eli kaikkea saatavilla olevaa tietoa ei käytetä arvioinnissa. Tämä menetelmä rajoittuu tietyn symmetrisen matriisin vähimmäisominaisarvon löytämiseen.

Samanaikaisten yhtälöiden testaus

Testaa liiallisia rajoituksia

Yliidentifioivien rajoitusten testaamiseksi voidaan käyttää todennäköisyyssuhdetestiä tilastolla , jonka jakauman vapausasteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin rajoitusten määrä. Järjestelmän tiivistetyt logaritmiset todennäköisyysfunktiot vakioon asti ovat muotoa: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

jossa pitkälle mallille ei ole rajoitettu, mutta lyhyelle mallille . $\Pi$ $\Pi =BA^{-1}$

Muistiinpanot

Katso myös

Kirjallisuus

Ayvazyan S.A. Sovellettu tilasto. Ekonometriikan perusteet. Osa 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometria. - M . : Unity-Dana, 2003-2004. — 311 s. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometria. Alkukurssi. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometria. Oppikirja / Toim. Eliseeva I.I. - 2. painos - M. : Talous ja tilastot, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Itse termi "samanaikaisten yhtälöiden järjestelmä" on virheellinen. Ja mitä, on olemassa eri aikayhtälöitä? Se, että tämä englanninkielinen lukutaidoton jäljityspaperi on levinnyt venäläisen kirjallisuuden (ja jopa ekonometiikan oppikirjojen) kautta, ei voi toimia tekosyynä. Riittää, kun katsot mitä tahansa englanti-venäläistä matemaattista sanakirjaa nähdäksesi, että "simutaneous equitions" on käännetty "yhtälöjärjestelmäksi". Adjektiivin "simutaneous" merkitys englanninkielisessä termissä on, että nämä yhtälöt on ratkaistava samanaikaisesti, ei erikseen (eikä ollenkaan sitä, että nämä yhtälöt ovat "samanaikaisia").